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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 x - \ln x$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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3、角谷猜想，也称为“ $3 n + 1$ ”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数 $a_{0} (a_{0} \geq 2)$ ，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为 $a_{1}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $a_{2}$ ， …，实施第 $n - 1$ 次运算后的结果记为 $a_{n - 1}$ ，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}$ ， 1，其递推关系式为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} 3 a_{k} + 1 & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix} (k = 0,1, 2, \dots, n - 1), a_{0}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的原始项.将此递推关系式推广为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} |λ a_{k} + 1| & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix}$ （ $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1; λ \in Z$ ，且 $λ \neq 0$ ），其它规则不变，得到的数列记作 $\{λ ∼ a_{n}\}$ 数列，试解答以下问题：

(1)、若 $a_{0} = 5$ ，则数列 $\{3 ∼ a_{n}\}$ 的项数为______；

(2)、求 $\{- 1 ∼ a_{n}\}$ 数列的原始项 $a_{0}$ 的所有可能取值构成的集合；

(3)、若对任意的 $\{1 ∼ a_{n}\}$ 数列，均有 $n \leq 2 \log_{2} a_{1} + d$ ，求d的最小值.

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4、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， $| A B | = 10$ .

(1)、求E的方程；

(2)、直线 $l : x = - 4$ ，过l上一点P作E的两条切线 $P M, P N$ ，切点分别为M，N.求证：直线 $M N$ 过定点，并求出该定点坐标.

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5、对集合 $A = {- 1, 2, x, y}$ ，其中 $x > 0, y > 0$ ，定义向量集合 $Ω = {\vec{a} ∣ \vec{a} = (m, n), m, n \in A}$ ，若对任意 $\vec{a_{1}} \in Ω$ ，存在 $\vec{a_{2}} \in Ω$ ，使得 $\vec{a_{2}} ⊥ \vec{a_{1}}$ ，则 $x + y =$ .

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6、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, φ < ω < π)$ 是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、这个简谐运动的初相为 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{2}, 3 π]$ 上单调递减 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，O是坐标原点，过 $F_{1}$ 作直线与C交于A，B两点，若 $|A F_{2}| = | A B |$ ，且 $△ O A F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6} b^{2}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、若 $5 \cos 2 α - \sin 2 α = \frac{1}{\cos^{2} 2 α} - \tan^{2} 2 α$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $- 1$ 或 $\frac{2}{3}$

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9、已知函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) = x^{3}, p = \ln 3, q = \log_{11} 3$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (- p) < f (q)$ B、 $f (p) > f (2 q)$ C、 $f (\frac{1}{p}) > f (\frac{1}{q})$ D、 $f (\frac{1}{p} + 1) > f (\frac{1}{q})$

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10、双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的上焦点 $F_{2}$ 到双曲线一条渐近线的距离为 $\frac{a}{2}$ ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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11、某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（）

A、29 B、30 C、30.5 D、31

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12、某手机销售商为了了解一款 $5 G$ 手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ ．

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (u, δ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $u$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $δ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[300, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为 $n (n \in N)$ 的概率为 $P (n)$ ，
（ⅰ）求 $P (0), P (1)$ 的值，并证明：数列 $\{P (n) - P (n - 1)\} (n \in N^{*})$ 是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ ～ N (u, δ^{2})$ ，则 $P (u - δ \leq ξ < u + δ) \approx 0.6827$ ，
$P (u - 2 δ \leq ξ < u + 2 δ) \approx 0.9545, P (u - 3 δ \leq ξ < u + 3 δ) \approx 0.9973$ ．

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13、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a (x - 1), x \in R$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = |f (x + 1)|$ ，求 $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P A B = 120 °, P A = A B, G$ 为 $△ P A B$ 的重心．

(1)、若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，求证： $G E ∥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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15、已知 ${(1 + \sqrt{x})}^{n}$ 展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{2}$ 的系数．

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16、已知函数 $f (x) = x - ln (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：对 $\forall x \in [0, + \infty), f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2}$ .

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17、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，直线 $y = k (x + \frac{9}{5})$ 与曲线 $f (x)$ 有三个不同的交点，则 $k$ 的取值范围为．

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18、利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为．

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19、若 $C_{n}^{2} = 21$ ，则 $n =$ ．

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20、已知 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R, f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (2024) = f (1)$ D、 $f (2024) = f (2)$

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