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相关试卷

1、在复平面内，复数 $z = - 1 - i$ 对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、记函数 $p_{0} (x) = q_{0} (x) = x, p_{n} (x) = e^{p_{n - 1} (x)}, q_{n} (x) = ln q_{n - 1} (x), n \in N^{*}$ .

(1)、证明： $q_{n} (p_{n} (x)) = x, n \in N^{*}$ ；

(2)、记 $q_{n} (x)$ 的定义域为 $D_{n}, n \in N^{*}, p_{1} (- x_{0}) + q_{1} (x_{0}) = 0$ ．若任意 $x \in D_{n}, p_{n} (a x) \geq q_{n} (x) + x_{0} + \frac{1}{x_{0}} + 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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3、在正四面体 $A B C D$ 中，点 $P ， Q ， R$ 分别在棱 $A B ， A C ， A D$ 上（不与顶点重合），且 $P Q = P R ．$

(1)、若 $A Q = A R + 1$ ，证明 $： A P = 2 A R + 1 ；$

(2)、求 $sin ∠ P Q R$ 的取值范围．

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4、小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．

(1)、求五张卡片上的数字都不相同的概率；

(2)、证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．

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5、已知点 $P (1, 2)$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 在第一象限的交点，另一交点为 $Q$ .

(1)、求 $p, r$ ；

(2)、若点 $R$ 在圆 $O$ 上，直线 $P R$ 为抛物线 $C$ 的切线，求 $△ P Q R$ 的周长．

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6、当 $x > 0$ ， $θ$ 为锐角时，恒有 $\ln x + \ln \cos θ + (x^{2} + 1) \ln \sin θ \leq m$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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7、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - a ， x > a \\ x - 2 a ， x \leq a \end{matrix}$ 至多有个零点．

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8、设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 满足 $x_{i} < x_{i + 1} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则（）

A、拿走 $x_{3}$ ，这组数据的方差变大 B、拿走 $x_{2}, x_{4}$ ，这组数据的方差变大 C、拿走 $x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，这组数据的方差减小 D、拿走 $x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{5}$ ，这组数据的方差减小

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9、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 由 $Ψ$ 唯一确定，称递推公式 $Ψ$ 是专一的．则下列递推公式中专一的有（）

A、 $\{\begin{cases} a_{n} = 2 n - 1 \\ a_{n + 1} = 2 n + 1 \end{cases}, n \in N^{*}$ B、 $\{\begin{cases} a_{1} = a_{2} = 1 \\ {(a_{n + 2} - a_{n + 1})}^{2} = a_{n} \end{cases}, n \in N^{*}$ C、 $\{\begin{cases} a_{2} = 2 \\ a_{n + 1} a_{n} = a_{n} + a_{n + 1} \end{cases}, n \in N^{*}$ D、 $\{\begin{cases} a_{n} + a_{n + 1} = 2 n \\ a_{n} a_{n + 2} = 3 n \end{cases}, n \in N^{*}$

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10、设双曲线 $Γ : x^{2} + x y = 1$ 与直线 $y = 2 x + m$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 与 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，则可能有（）

A、 $x_{1} + x_{2} > 0$ B、 $x_{1} x_{2} > 0$ C、 $y_{1} + y_{2} > 0$ D、 $y_{1} y_{2} > 0$

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11、称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记 $ℜ [S]$ 为集合 $S$ 包含的好整点的个数．若 $ℜ [\{(x, y) |{(x + y)}^{2} + 3 x + y < k\}] = ℜ [\{(x, y) | x + y \leq 43\}]$ ，则正整数 $k$ 的最小值是（）

A、1976 B、1977 C、 $2023$ D、 $2024$

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12、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的弦 $A B$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C, D$ 两点， $|A C| : |C D| : |D B| = 1 : 2 : 2$ ，若直线 $A B$ 的斜率 $k$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$

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13、小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第 $k$ 天早上八点以 $\frac{1}{k + 1}$ 的概率向存钱罐中存入100元， $k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ ．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，则 $\frac{|\vec{a} - 2 \vec{b}|}{\sqrt{1 - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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15、设点 $P$ 在正四面体 $A B C D$ 的棱 $A B$ 上， $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\frac{A P}{B P} + \frac{B P}{A P} =$ （）

A、4 B、10 C、14 D、20

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16、记 $S_{n}$ 为非零数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n} ， n \in N^{*}$ ，则 $\frac{a_{4}}{a_{1}} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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17、已知 $A B = 2 ， A C = 3 ， B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

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18、已知 $z^{2} - z = \frac{z^{4}}{z}$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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19、甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为 $\frac{1}{5}$ ，甲赢丙的概率为 $\frac{1}{4}$ ，丙赢乙的概率为 $\frac{1}{3}$ .因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

(1)、若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

(2)、请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} =$ $(a, c o s A)$ ， $\vec{n} =$ $(c o s B, b - c)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ $= c \cdot c o s A$ ， $△ A B C$ 外接圆面积为 $3 π .$

(1)、求A；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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