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相关试卷

1、下列等式正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ B、 $C_{n}^{m} = \frac{n + 1}{m + 1} C_{n + 1}^{m + 1}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1} - A_{n}^{n} = n^{2} A_{n - 1}^{n - 1}$ D、 $\frac{(n + 1)!}{k!} - \frac{n!}{(k - 1)!} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k!} (k \leq n)$

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2、投掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “朝上一面点数为偶数”，事件 $B =$ “朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B$ 互斥 B、事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$

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3、一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{1}$ ，期望方差分别为 $E (X_{1}), D (X_{1})$ ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2}), D (X_{2})$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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4、若 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - 4 x$ 的一个极值点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = e^{3 - x} - 2 x + 2$ 的一个零点，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5、定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）

A、18 B、21 C、35 D、36

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6、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A、 $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$ B、 $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$ C、 $a < 0, b > 0, c < 0, d > 0$ D、 $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$

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7、苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知 $lg 5 \approx 0.699$ ，则 $2^{24}$ 是（）

A、5位数 B、6位数 C、7位数 D、8位数

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8、已知 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则使 $f (x) < f (- 3 x^{2} + 4)$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{4}{3})$ C、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (1, + \infty)$

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9、一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为 $X$ ，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{5}{14}$

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10、函数 $f (x) = \ln (2 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$

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11、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x), \vec{b} = (\cos x, \cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $x \in (0, π)$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = \frac{1}{2}$ 且 $b = \sqrt{3}$ .求 $a + c$ 的取值范围．

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12、金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．

(1)、证明： $A E ∥$ 平面CDF；

(2)、证明：四棱锥 $E - A B C D$ 是正四棱锥；

(3)、试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

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13、某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
10.1
9.8
10.0
9.7
10.0
9.8
经计算得 $\frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 98.03$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的评分， $i = 1, 2, 3, \dots, 6$ ．

(1)、求这组样本平均数和方差；

(2)、从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；

(3)、若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．

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14、已知向量 $\overset{⃑}{O A} = (2, 1)$ ， $\overset{⃑}{O B} = (3, - 2)$ ， $\overset{⃑}{O C} = (6 - m, - 3 - m)$ ．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

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15、对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是．

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16、堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）

A、阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B、鳖臑的四个面均为直角三角形 C、阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D、堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等

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17、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，
① $B P ∥$ 平面EFG
②平面 $E F G ∥$ 平面 $B C_{1} A_{1}$
③所有点P在直线 $B_{1} D_{1}$ 上
④BP与 $D D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
正确命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, & x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, & x > 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) = k$ 有3个实数解，则k的取值范围是（）

A、 $- 4 < k \leq - 3$ B、 $- 4 < k < - 3$ C、 $- 3 < k < 0$ D、 $k > 0$

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19、某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了 $10 %$ 的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
则该校高中学生的平均身高可估计为（）

A、 $3.6 \bar{x} + 3.4 \bar{y} + 3.0 \bar{z}$ B、 $\frac{\bar{x} + \bar{y} + \bar{z}}{2}$ C、 $0.36 \bar{x} + 0.34 \bar{y} + 0.30 \bar{z}$ D、 $\frac{\bar{x} + \bar{y} + \bar{z}}{3}$

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20、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为 $84 π$ ，则圆台较小底面的半径为（）

A、8 B、7 C、5 D、3

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年级	高一	高二	高三
抽样人数	36	34	30
平均身高	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$