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相关试卷

1、已知随机变量X的概率分布如表所示，且 $E (X) = \frac{11}{6}$ ，则 $m =$ （）
X
1
2
3
P
n
m
$\frac{1}{3}$

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ 上一点 $P (1 ， f (1))$ ，则在点P处切线的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos A = \sin B = \frac{1}{2 \tan C}$ ，则（）

A、 $A + B = \frac{π}{2}$ B、 $2 A + C = \frac{π}{2}$ C、 $a = c$ D、 $b = \sqrt{3} a$

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4、已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义新运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则称 $f (x)$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数.例如：向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x - x$ .

(1)、若向量 $\vec{m} = (1, - 1)$ ， $\vec{n} = (u \cos x, v \sin x)$ （ $u$ ， $v \in R$ ），且向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x + 2 \sin x$ ，求 $|\vec{n}|$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{m} = (\sin^{2} x, 4)$ ， $\vec{n} = (1, \cos x - 1)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若向量 $\vec{m} = (sin (2 x - \frac{π}{6}), 4)$ ， $\vec{n} = (2, cos (2 x + \frac{π}{3}))$ 的点积函数为 $h (x)$ ，且存在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ ，使得 $- 2 \leq h (x) + k \leq 3$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = m - |x - 2|$ ， $m \in R$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, 1]$
（1）求 $m$ 的值；
（2）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证 $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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6、（1）已知 $x > 0$ ，求 $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的最大值.
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 3 y = 6$ ，求 $x y$ 的最大值.

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7、已知集合 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，将 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ （其中 $i \in \{1, 2, 3\}$ ， $j \in \{4, 5, 6\}$ ）的乘积 $ x_{i} x_{j}$ 放入如图的 $3 \times 3$ 方格中，则方格中全部数之和的最大值为.
$x_{1} x_{4}$
$x_{1} x_{5}$
$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$
$x_{2} x_{5}$
$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$
$x_{3} x_{5}$
$x_{3} x_{6}$

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8、一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 $60 °$ ，若该圆锥的侧面积为 $3 \sqrt{3} π$ ，则该圆锥的体积为.

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9、函数 $f (x) = {log}_{3} (a^{x} - 2^{- x})$ （ $a > 1$ ），若 $f (x) > 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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10、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $k$ ，若 $0 < k < 1$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x} + 1$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $0 < a < \frac{2}{e}$ C、 $0 < a \leq \frac{2}{e}$ D、 $a \geq \frac{2}{e}$

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13、下列选项中正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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14、设函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， |φ| ＜ \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f（0）＝

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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15、已知一个袋子中有x个红球，y个黑球， $(x, y \in N^{*}, y \geq 2)$ ，这些球除颜色外完全相同.

(1)、当 $x = 1$ ， $y = 2$ 时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到 $2 n (n \in N^{*})$ 时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求 $E (X)$ .

(2)、将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, x + y$ 的盒子中，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, x + y)$ 的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数， $E (X)$ 是X的数学期望，求证：当 $x > y$ 时， $E (X) < \frac{1}{2 (y - 1)}$ .

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - 3 ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求不等式 $f (x) \geq 2 {(x - 1)}^{2} + \frac{5}{2}$ 的解集．

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17、甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为.

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18、若 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1} =$ .

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19、已知 $l$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 的切线，且 $l$ 交圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、4

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20、已知 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x)$ 不是常函数，则命题“ $f (x)$ 是周期函数”是“ $f^{'} (x)$ 是周期函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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$x_{1} x_{4}$	$x_{1} x_{5}$	$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$	$x_{2} x_{5}$	$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$	$x_{3} x_{5}$	$x_{3} x_{6}$

X	1	2	3
P	n	m	$\frac{1}{3}$