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相关试卷

1、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} = 3 a_{11}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{9}{8}$

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2、5名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项比赛无并列冠军），则不同的结果种数为（）

A、 $5^{3}$ B、 $3^{5}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $C_{5}^{3}$

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3、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（）

A、 $6 x - 2 y + 3 = 0$ B、 $x + 3 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 3 = 0$ D、 $x - 3 y - 1 = 0$

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4、已知 $z = \frac{2 i - 4}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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5、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ .当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)、求 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数；

(2)、证明： $sh (x) \geq x$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 上恒成立；

(3)、求 $f (x) = sh (x) - \sin x - \frac{1}{3} x^{3}$ 的零点.

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6、如图，在斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $60 °$ ，定义向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 在该斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为有序数对 $(x, y)$ ，记为 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} = (x, y)$ .在斜坐标系 $x O y$ 中，完成如下问题：

(1)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (5, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{m} = (4, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 2, 3)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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7、五面体 $A B C - A_{1} D C_{1}$ 为直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去一个三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C_{1}$ 后得到的几何体， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A_{1} D$ 的中点.点 $E$ 满足 $\vec{C_{1} E} = λ \vec{C_{1} D}$ $(0 \leq λ \leq 1)$ 上.

(1)、若 $B F ⊥ C E$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $P$ 是线段 $A C$ 的中点，求平面 $A B C$ 与平面 $P B F$ 夹角的正弦值.

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8、由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男性
30
70
100
女性
60
40
100
合计
90
110
200

(1)、根据以上数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？

(2)、将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为 $X$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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9、若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前99项和 $T_{99}$ .

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在第一象限的交点为 $P$ ，椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ， $\vec{O P}$ 在 $\vec{O F}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{5}}{2} \vec{O F}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为；双曲线 $E$ 的渐近线方程为.

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11、函数 $f (x) = x + \frac{5}{x} + 2$ 的所有极值之和为.

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12、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间 $x$ 与数学成绩 $y$ 进行数据收集如表：
$x$
15
16
18
19
22
$y$
102
98
115
$m$
120
若由表中样本数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 3.1 x + 54.2$ ，则实数 $m =$ .

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13、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ 就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于坐标原点对称 B、曲线 $C$ 上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{2}$ C、四叶草曲线 $C$ 所围的区域面积大于 $\frac{π}{4}$ D、四叶草曲线 $C$ 恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

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14、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, 2)$ ，定义函数 $f (x)$ 为 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (1) + f (- 1) = 1$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数 D、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (2 x) = 2 f (x)$

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15、集合 $A = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ， $B = \{a, a^{2}\}$ .若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 可取值（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- 1$ D、0

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16、已知 $a = 0.02$ ， $b = e^{- 0.96}$ ， $c = \ln 1.03$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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17、 ${(3 x - y)}^{n}$ 的展开式中各项系数和为32，则展开式中含 $x^{2} y^{3}$ 的项是（）

A、 $- 90 x^{2} y^{3}$ B、 $90 x^{2} y^{3}$ C、 $- 180 x^{2} y^{3}$ D、 $180 x^{2} y^{3}$

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18、你正在做一道选择题，假设你会做的概率是 $\frac{2}{3}$ ，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为 $\frac{9}{10}$ ；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是 $\frac{1}{4}$ ，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（）

A、 $\frac{41}{60}$ B、 $\frac{17}{20}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{59}{60}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = f^{'} (0) \cdot x^{2} - x$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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20、下列说法正确的是（）

A、某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B、数据 $2$ ， $3$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ ， $8$ ， $10$ ， $12$ 的第80百分位数为8 C、线性回归分析中，样本相关系数 $r$ 的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D、线性回归模型分析中，模型的决定系数 $R^{2}$ 越小，模型的拟合效果越好

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性别	保护动物意识		合计
性别	强	弱	合计
男性	30	70	100
女性	60	40	100
合计	90	110	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	15	16	18	19	22
$y$	102	98	115	$m$	120