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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x + 1$ ，函数 $g (x) = a e^{x} - x + ln a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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2、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且满足 $2 A M + A N = 1$ ，设 $\overset{⃑}{A C} = x \overset{⃑}{A M} + y \overset{⃑}{A N}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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3、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $cos α = \frac{4}{5}, tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{50}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$

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4、已知事件 $A$ 发生的概率为0.4，事件 $B$ 发生的概率为0.5，若在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为0.6，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为（）

A、0.85 B、0.8 C、0.75 D、0.7

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5、已知 $f (x) = cos (sin x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ B、 $f (x)$ 关于 $(\frac{π}{2}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$

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6、如图， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $|P F| = 8$ ，则 $△ P O F$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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7、已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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8、已知函数 $f (x) = (1 + k) ln (1 + x)$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 的切线方程；

(2)、设 $F (x) = f (x) - x - 2$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的最大值为 $G (k)$ ，求 $G (k)$ ，并判断函数 $G (k)$ 的零点个数.

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9、已知椭圆与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有一个相同的焦点 $F_{2} (1, 0)$ ，椭圆的长轴长为2p．

(1)、求椭圆与抛物线的方程；

(2)、P为抛物线上一点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，直线 $P F_{1}$ 交椭圆于A，B两点，直线 $P F_{2}$ 与抛物线交于P，Q两点，求 $\frac{|A B|}{|P Q|}$ 的最大值．

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10、数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} S_{n} - a_{n}^{2} = 1$
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{2}{4 S_{n}^{4} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并求使 $T_{n} > \frac{1}{6} (m^{2} - 3 m)$ 对所有的 $n \in N *$ 都成立的最大正整数m的值．

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11、“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》．“规”指圆规，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较短边为5cm，如图所示，三角形顶点A，B，C都在圆周上，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $c = 4 \sqrt{5}$ cm．

(1)、求 $sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为8cm² ，且 $a > c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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12、在二项式 ${(x + \frac{1}{a \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式中，前三项的二项式系数之和为79.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{128}$ ，求实数 $a$ 的值.

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13、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x + 4)$ ， $f (2024) = \frac{1}{e^{2}}$ ，若 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x + 2) > e^{x}$ 的解集为.

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14、如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 $2 \sqrt{6}$ ，则模型中九个球的体积和为.

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15、4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有种排法．

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16、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 5, \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 3$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \ln | e x | - x + \frac{1 - x}{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ B、 $f (x)$ 恰有2个零点 C、 $f (x)$ 既有最大值，又有最小值 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ B、 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减 C、 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、存在实数 $x$ 满足 $f (x + 2) + f (- x) = 0$

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19、如图所示，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 $F_{1} B$ 的中点，且 $F_{1} B ⊥ F_{2} B$ ，则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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20、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则 $f (1) + f (4)$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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