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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点均在半径为1的球 $O$ 表面上，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动， $M N$ 为球 $O$ 的一条直径，则正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的范围是．

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2、已知直线 $y = (3 - 2 t) x - 5$ 不过第一象限，则实数t的取值范围为．

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3、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱 $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为线段CM上的动点，则（）

A、平面CMN截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面形状是五边形 B、向量 $\vec{B N}$ 在向量 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ 上的投影向量的模为 $\frac{2}{3}$ C、存在点P，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、点P到棱 $D D_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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4、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C D$ 上运动，则（）

A、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，则平面 $B C_{1} P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、点 $P$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、异面直线 $B P$ ， $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$

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5、下列命题中正确的是（）

A、若 $A, B, C, D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、若直线 $l$ 的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角等于 $130 °$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角等于 $50 °$ C、已知向量 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 组是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\}$ 也是空间的一个基底 D、对空间任意一点 $O$ 与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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6、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $M$ 是正方形 $B B^{'} C^{'} C$ 的中心， $P$ 是 $△ A^{'} C^{'} D$ 内（包括边界）的动点，满足 $P M = P D$ ，则点 $P$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{14}$

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7、二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ， $C D = 2 \sqrt{17}$ ，则该二面角的大小为（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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8、如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则折后二面角 $E - O F - A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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9、如图， $M$ 是四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $M N = \frac{1}{2} O N, A P = \frac{3}{4} A N$ ，设向量 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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10、已知空间向量 $\vec{a} = (2, m, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 4, n)$ 共线，m， $n \in R$ ，则 $m + n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、“直线 $a x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $x + (a - 3) y - 2 = 0$ 平行”是“ $a = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = x - \sin x - a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π, f (π))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有一个极值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = \frac{1}{π}$ 时，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $- \frac{π}{2} < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ ，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ．

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13、为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据：
男生
女生
合计
喜欢
65
35
100
不喜欢
50
50
100
合计
115
85
200

(1)、能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？

(2)、若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）．
①若比赛打满5局的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值；
②若 $p = \frac{2}{3}$ ，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数 $X$ 的概率分布及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.010
0.001
$x_{0}$
2.706
6.635
10.828

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14、已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x + 1}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f ((a^{2} + 1) x^{2} + 1) + f (x^{2} - 6) > - 2$ 在 $(0, 1)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数的和为64，求：

(1)、 $n$ ；

(2)、含 $x^{3}$ 的项；

(3)、偶数项的系数的和．

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16、某研究机构测试了5款新能源汽车，电池容量 $x$ 与实际续航里程 $y$ 之间对应数据如下：
电池容量 $x /kWh$
40
50
60
70
80
实际续航里程 $y /km$
260
310
380
420
480
已知电池容量 $x$ 与实际续航里程 $y$ 之间具有很强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计当 $x = 90$ 时对应 $y$ 的值．
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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17、若实数 $m, n$ 满足 $\ln m \geq \frac{m}{n} + ln \frac{n}{e}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ ．

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18、某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为．

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19、 $e^{ln 3} - \sqrt{{(3 - e)}^{2}} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = |x + \frac{k}{x}|$ ， $g (x) = x^{2} + \frac{k^{2}}{x^{2}}$ ， $k \in R$ ，则（）

A、当 $k = 3$ 时， $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、当 $k = 2$ 时， $f (x) g (x)$ 的最小值为 $8 \sqrt{2}$ C、任意 $k > 0$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有相同的单调区间 D、存在 $k > 1$ ，使得 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有2个不同的公共点

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	男生	女生	合计
喜欢	65	35	100
不喜欢	50	50	100
合计	115	85	200

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.010	0.001
$x_{0}$	2.706	6.635	10.828

电池容量 $x /kWh$	40	50	60	70	80
实际续航里程 $y /km$	260	310	380	420	480