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相关试卷

1、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 1 < 0$ 在 $(\frac{1}{2}, 1]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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2、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{9}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{2}{3} P_{n} + \frac{1}{3}$ C、点Q移动4次后恰好位于点 $C_{1}$ 的概率为0 D、点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 $\frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{10} + \frac{1}{2}$

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3、下列论述正确的有（）

A、若随机变量 $ξ, η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ) + 1$ B、若随机事件 $A$ ， $B$ 满足： $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(2, - 3)$ 的残差为 $- 1.9$

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4、2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y与x的回归直线方程是： $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，相关系数 $|r| = 0.986$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\hat{a} = 41$ B、变量 $x, y$ 线性负相关且相关性较强 C、相应于点 $(9.5, 10)$ 的残差约为0.4 D、当 $x = 8$ 时，y的估计值为14.4

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5、某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有 $80 %$ 的概率获得回报 $400$ 元，有 $20 %$ 的概率获得回报 $800$ 元；方案二：第一天获得回报 $10$ 元，以后每天获得的回报比前一天多 $10$ 元；方案三：第一天获得回报 $0.5$ 元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（）

A、方案一 B、方案二 C、方案三 D、都可以

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6、规定 $a * b = \sqrt{a b} + a + b (a b \geq 0)$ ，则函数 $f (x) = 1 * x$ 的值域为

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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7、已知 $p$ ： $\log_{2} x < 1$ ，则 $p$ 的充分不必要条件是（）

A、 $x < 2$ B、 $0 < x < 2$ C、 $0 < x < 1$ D、 $0 < x < 3$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D, A B ⊥ B C, B C = C D = 2$ ， $P A = P D = A B = 4, P B = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $P C$ 的中点，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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9、为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：

男学生
女学生
合计
喜欢运动
40
20
60
不喜欢运动
20
20
40
合计
60
40
100

(1)、能否有90%的把握认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？

(2)、按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, 其中 n = a + b + c + d$ .
$a$
0.1
0.05
0.01
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635

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10、在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 9 ， a_{7} = \frac{1}{9}$ ，则数列 $\{a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}\}$ 的公比为

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11、某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布 $N (10, 0.01)$ ，则（附： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）（）

A、 $P (X > 10.3) = 0.00135$ B、 $P (X < 9.99) = 0.15865$ C、 $P (9.9 \leq X \leq 10.3) = 0.84$ D、 $P (9.8 \leq X \leq 10.1) = 0.8186$

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12、重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（）

A、1600种 B、14400种 C、2880种 D、2400种

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13、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ， C$ 上有一点 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、20 C、 $8 + 4 \sqrt{5}$ D、16

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3}), \vec{b} = (sin x, cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (θ) = 0$ ，求 $\frac{2 {cos}^{2} \frac{θ}{2} - sin θ - 1}{\sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})}$ 的值；

(2)、当 $x \in (0, π)$ 时，求函数 $f (\frac{x + π}{2})$ 的值域.

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15、高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为 $30^{°}$ 、 $60^{°}$ 、 $45^{°}$ ，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.

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16、已知常数 $m \in R$ ，设 $f (x) = \ln x + \frac{m}{x}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、是否存在 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 依次成等比数列，使得 $f (x_{1})$ 、 $f (x_{2})$ 、 $f (x_{3})$ 依次成等差数列？请说明理由．

(3)、求证：“ $m \leq 0$ ”是“对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ”的充要条件．

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17、设函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq a x$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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18、袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色.

(1)、两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率；

(2)、甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量 $X$ 为此时已摸球的次数，求：
① $P (X = 2)$ 的值；②随机变量 $X$ 的概率分布和数学期望.

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19、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}, \frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x) = f^{'} (x)$ 的极小值为1 B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 C、 $\exists x \in (- 2, - 1)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = - \frac{1}{2} x_{0}$ D、若 $\forall x < 0, f (x) < - \frac{1}{4} x^{2} + a$ 恒成立，则整数 $a$ 的最小值为2

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	男学生	女学生	合计
喜欢运动	40	20	60
不喜欢运动	20	20	40
合计	60	40	100

价格x	9	9.5	10	10.5	11
销售量y	11	10	8	6	5

$a$	0.1	0.05	0.01
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635