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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b sin A = \sqrt{3} a, b^{2} = c (2 a + c)$ ．

(1)、求 $\frac{sin A}{sin C}$ 的值；

(2)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆上一点（ $B$ 与 $D$ 位于直线 $A C$ 异侧），且 $C D = 2 A D = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间；

(3)、若存在 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{5 π}{6}]$ ，使得 $f (x) \leq 3 a - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 4 i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若 $z$ 是方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a \in R, b \in R)$ 的一个根，求 $a + b$ 的值．

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4、已知四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{6}, A B ⊥ B C, D C ⊥ A C, ∠ C A D = 30^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，连接 $B D$ ，得到三棱锥 $B - A C D$ ，则三棱锥 $B - A C D$ 体积的最大值为，此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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5、在平行四边形ABCD中， AD = 1， $∠ B A D = 60^{°}$ ， E为CD的中点. 若 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{B E} = 1$ ，则AB的长为.

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6、已知 $\frac{cos 2 θ}{sin (θ - \frac{π}{4})} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos θ + sin θ =$ ．

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7、一个表面被涂满红色的棱长是4的正方体，将其均匀分割成棱长为1的小正方体，下列结论正确的是（）

A、共得到64个小正方体 B、由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为98 C、由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为 $12 π$ D、取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为 $\frac{3}{2}$

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8、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3})$ B、 $f (\frac{π}{2}) = \sqrt{3}$ C、 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $[- \frac{π}{4} + 3 k π, \frac{3 π}{4} + 3 k π] (k \in Z)$ D、把函数 $y = 2 \sin x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到 $f (x)$ 的图象

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围为 $(- \infty, \sqrt{3})$ D、若 $x = - \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$

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10、如图，已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1, |\vec{O C}| = \sqrt{3}, \vec{O C} ⊥ \vec{O B}, ∠ A O C = 30^{\circ}$ ，则（）

A、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ B、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} - \vec{O B}$ C、 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ D、 $\vec{O C} = \vec{O A} + 2 \vec{O B}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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12、某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面 $2 m$ ，当雨与地面成 $75^{\circ}$ 斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6} - 2$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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13、下列不等式成立的是（）

A、 $sin 1 > sin 2$ B、 $sin 1 > 1$ C、 $sin 1 > tan 1$ D、 $sin 1 > cos 1$

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14、函数 $f (x) = 6 tan (- \frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$ 的相邻两个零点之间的距离为（）

A、 $6 π$ B、6 C、 $12 π$ D、12

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15、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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16、某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取 $n$ 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在 $[70, 80)$ 的有10个.

(1)、求 $n$ 和乙样本直方图中 $a$ 的值；

(2)、试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；

(3)、若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数.

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17、一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为．

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18、下列说法正确的是（）

A、某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是 $\frac{1}{6}$ ，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B、为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D、若甲组数据的方差 $S^{2} = 0.01$ ，乙组数据的方差 $S^{2} = 0.1$ ，则乙比甲稳定

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19、若向量 $\vec{A B} = (0, 1), \vec{C D} = (m, - 2), \vec{A B}$ $∥$ $\vec{C D}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、0

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20、某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即： ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ ”，证明如下.证明：考虑多项式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n}$ 中 $x^{n}$ 的系数，一方面：代数式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n} = {(1 + x)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} x + \dots + C_{2 n}^{n} x^{n} + \dots + C_{2 n}^{2 n} x^{2 n}$ 中， $x^{n}$ 的系数为 $C_{2 n}^{n}$ .另一方面：代数式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n} = (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{n} x^{n}) \cdot (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n} x^{n})$ 中， $x^{n}$ 的系数为 $C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{n} + C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} \cdot C_{n}^{0}$ .因为 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ，所以 $C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{n} + C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} \cdot C_{n}^{0}$ $= {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2}$ .所以 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ .

(1)、如果证明过程中考虑 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{m}$ 中 $x^{k}$ 的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释；

(2)、证明：① $C_{n}^{m} \cdot C_{m}^{k} = C_{n}^{k} \cdot C_{n - k}^{m - k}$ ；② $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} \cdot C_{n + i}^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} {(C_{n}^{i})}^{2}$ .注：组合数 $C_{n}^{m}$ ，若 $m > n$ ，则 $C_{n}^{m} = 0$ .

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