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相关试卷

1、某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ${300m}^{3}$ ，深度为 $3m$ .池底每平方米的造价为 $100$ 元，池壁每平方米的造价为 $50$ 元，设计水池的最低总造价约为（）

A、 $12000$ 元 B、 $15000$ 元 C、 $16000$ 元 D、 $24000$ 元

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2、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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3、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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4、如图， $A B$ 是圆O的直径， $A D$ 垂直于圆O所在的平面， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点C是圆O上不同于 $A, B$ 的任意一点，E为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若直线 $B D$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $O - C E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 为圆O（含圆周）内任意一点，它到点 $A$ 的距离与到直线 $B D$ 的距离相等，求三棱锥 $P - A B D$ 体积的取值范围．

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A P = A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 \sqrt{3} a c \sin B = (a + b + c) (a + b - c)$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a + b = 7$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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7、甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立.

(1)、若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率；

(2)、求乙最终获胜的概率.

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8、已知向量 $\vec{a} = (sin x, cos x - sin x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} cos x, cos x + sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值

(2)、若对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - 2 f (x) - a = 0$ 都有解，求实数a的取值范围

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， B C = 1 ，$ 点D为 $A B$ 的中点，点 E 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A E} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}, \vec{C F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为.

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10、用铁水灌注上、下底面的边长分别为 $2 cm$ 和 $6 cm$ 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为 $2 \sqrt{3} cm$ ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）

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11、在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）

A、事件 $A, B$ 为互斥事件 B、事件 $A, B$ 为相互独立事件 C、 $P (C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (D) = P (A) + P (B) + P (C)$

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12、已知菱形 $A B C D$ 的各边长为 $2, ∠ D = 60^{\circ}$ .如图所示，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使得点 $D$ 到达点 $S$ 的位置，连接 $S B$ ，得到三棱锥 $S - A B C$ ，此时 $S B = 3$ ， $E$ 是线段 $S A$ 的中点，点 $F$ 在三棱锥 $S - A B C$ 的外接球上运动，且始终保持 $E F ⊥ A C$ ，则点 $F$ 的轨迹的周长为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} π$

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13、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等边三角形，侧棱 $A D = 2$ ，点 $E$ 是棱 $A D$ 的中点，点 $F$ 是 $B E$ 的中点，则异面直线 $A B$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$

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14、帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7

A、轻风 B、微风 C、和风 D、劲风

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15、某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（每组数据均左闭右开），则下列各选项正确的是（）

A、 $a = 0.005$ B、估计这100名人员成绩的中位数为76.6 C、估计这100名人员成绩的平均数为76.2（同一组数据用该区间的中点值作代表） D、若成绩在 $[80, 100)$ 内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (- 6, 8), |\vec{b}| = 5, \vec{c} = (1, 0)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为钝角，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 4, - 3)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P D = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ . $M$ 为 $P C$ 中点， $N$ 为线段 $A B$ 上一点，满足 $M N / /$ 平面 $P A D$ .

(1)、求 $\frac{A N}{N B}$ 的值；

(2)、若 $∠ P D C = 60 °$ ，求点 $N$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、记二面角 $B - P C - D$ 为 $α$ ，直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成角为 $β$ ，求证： $\frac{\tan α}{\tan β}$ 为定值.

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18、镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心 $Z$ 正东方向 $A$ 处测得铜像顶的仰角为 $30 °$ ，从 $A$ 处沿直线走38米到达 $Z$ 南偏东 $60 °$ 的 $B$ 处，测得铜像顶的仰角为 $45 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $Z$ 在同一平面内．

(1)、求铜像连同底座的高度 $L Z$ ；

(2)、若铜像底座 $S Z$ 的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心 $Z$ 多远处？

(3)、在（2）的条件下，若组员甲在 $△ A B Z$ 区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？
（参考数据： $\sqrt{219} \approx 14.8$ ， $π \approx 3.14$ ，所有答案精确到小数点后1位）

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19、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α), α \in (0, π)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{\cos 2 β}, \cos β), β \in (\frac{π}{2}, π)$ .

(1)、若 $\sin (β + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{m} = (4, 3)$ 与向量 $\vec{a}$ 共线且 $|\vec{b}| = 1$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值.

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中.

(1)、求证： $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $B D_{1} \subset$ 平面 $α$ ，求证：平面 $α ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ .

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级数	名称	风速大小（单位：m/s)
2	轻风	1.6~3.3
3	微风	3.4~5.4
4	和风	5.5~7.9
5	劲风	8.0~10.7