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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x$ ， $g (x) = a e^{a x} - 2 x \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $g (x) \geq 0$ 恒成立时，判断 $f (x)$ 的零点个数．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且底面 $A B C D$ 是菱形， $E$ 是 $P A$ 的中点．

(1)、证明： $P C / /$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若 $P A = A B = 6$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为72，且 $\vec{P F} = 2 \vec{F C}$ ，求平面 $B D F$ 与平面 $P C D$ 的夹角．

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 4$ ， $c = 6$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为．

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4、若 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{9}| = 3^{9}$ C、 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ 中， $a_{5}$ 最大 D、 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2^{1}} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{8}} = 2$

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5、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x + 2$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为3 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 2)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称

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6、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，从 $X$ 所有可能的取值中任取3个，在 $X = 3$ 取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过 $\frac{1}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7、已知向量 $\vec{A B} = (2, 1)$ ， $\vec{A C} = (1, m)$ ， $\vec{C D} = (3, 6)$ ．若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、2 B、 $- 4$ C、 $- 14$ D、 $- 8$

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8、设集合 $A = \{- 2, - 1, 1\}$ ， $B = {x ∣ - 2 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ B、 $\{- 2, - 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 1\}$

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9、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} - 2 x$ ，若过点 $(1, 0)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 两条切线，求a的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{x - 1}{x + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若当 $a = \frac{1}{2}$ 时，函数 $g (x) = f (x) - b$ 在 $(1, + \infty)$ 有且只有一个零点，求实数b的范围；

(3)、是否存在实数a，使得当 $f (x)$ 的定义域为 $[m, n]$ 时，值域为 $[1 + \log_{a} n, 1 + \log_{a} m]$ ，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + b x + a - 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $0$ ，其中 $a, b \in R$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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12、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ 在区间 $(m, 6 - m^{2})$ 上有最小值，则实数 $m$ 的取值范围是.

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13、定义在 $R$ 上的两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，已知 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ .若 $y = g (x)$ 图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则 $f (0) =$ .

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14、函数 $f (x) = \log_{a} (2^{x} - 1)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恒过的定点是．

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 6) = f (- 2 x)$ ，且 $f (x - 1) + f (x + 1) = f (- 2)$ ，若 $f (\frac{5}{2}) = 1$ ，则（）

A、 $f (2024) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 3$ 对称 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} {(- 1)}^{k} k f (k - \frac{1}{2}) = 2025$

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16、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (a - \frac{1}{x + 1}) + b$ ，若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则 ${log}_{a} b =$ （）

A、-3 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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17、命题“ $\forall x \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} > x^{2}$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} \leq x^{2}$ B、 $\forall x \in R, \forall n \in N^{*}$ 使得， $n \leq x^{2}$ C、 $\exists x_{0} \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} \leq x_{0}^{2}$ D、 $\exists x_{0} \in R, \forall n \in N^{*}$ ，使得 $n \leq x_{0}^{2}$

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18、已知集合 $\{x | 2 x - x^{2} \leq 0\}$ ， $B = ∁_{R} A$ ，其中 $R$ 是实数集，集合 $C = (- \infty, 1]$ ，则 $B \cap C =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, 1)$

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19、“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ 的点 $P$ 即为费马点．已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0, a = 2$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A C ⊥ B C, |P A| + |P B| = λ |P C|$ ，求实数 $λ$ 的值．

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20、如图，在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2, P A = \sqrt{13}$ ．

(1)、求棱锥的高和斜高；

(2)、求直线 $D E$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、若球 $O$ 是正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内切球，以底面正六边形 $A B C D E F$ 的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内接几何体，求该几何体的侧面积．

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