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1、在① $z_{2} \bar{z_{2}} = 4$ ， ② $z_{2} = 2 \cos x + 2 isin x$ ， ③ $|z_{2}| = 2$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，满足 $z_{1} = 1 - i$ ， ________________.

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，求复数 $z_{2}$ ；

(2)、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的对应点为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，且 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，求复数 $z_{2}$ .

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ， $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ ， $C D$ 上的动点.若 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{D F}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ ；若 $\frac{B E}{B C} = \frac{C F}{C D} = k$ ， $k \in [0, 1]$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D E}$ 的取值范围是.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = 45 °$ ， $C = 60 °$ ， $c = \frac{3}{2} \sqrt{6}$ ，则 $b$ 的值为.

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4、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $B D$ 中点， $M$ 为棱 $A A_{1}$ 上一动点，则（）

A、异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $B D$ 所成角为 $45 °$ B、三棱锥 $O - M B_{1} D_{1}$ 的体积为定值 C、 $M D_{1} + C M$ 最小值为 $\sqrt{5}$ D、过点 $M$ 且平行于平面 $A_{1} B C_{1}$ 的平面截正方体得到的截面多边形周长为定值

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5、已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，则（）

A、若 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，则 $z_{1} z_{2}$ 也为纯虚数 C、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 是实数 D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a = 7$ ， $b = 8$ ， $\cos C = \frac{13}{14}$ ，则（）

A、 $c = 3$ B、 $A = 120^{\circ}$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ D、 $A B$ 边上的高为 $4 \sqrt{3}$

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7、已知 $0^{\circ} \leq α \leq 180^{\circ}$ 满足 $\frac{\tan 39^{\circ} + \tan 81^{\circ} + \tan α}{\tan 39^{\circ} \tan 81^{\circ}} = \sqrt{3}$ ，则 $α$ 的值为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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8、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内的一组基底， $\vec{M N} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{M P} = 4 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{M Q} = 5 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ，则共线的三点为（）

A、 $M$ ， $N$ ， $P$ B、 $M$ ， $N$ ， $Q$ C、 $M$ ， $P$ ， $Q$ D、 $N$ ， $P$ ， $Q$

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9、已知圆台上、下底面半径分别为 $1$ 、 $2$ ，若其母线与底面所成角为 $60^{\circ}$ ，则该圆台的表面积为（）

A、 $6π$ B、 $8π$ C、 $9π$ D、 $11π$

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10、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，若 $(\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}) ⊥ (5 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}})$ ，则向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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11、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同平面， $l$ ， $m$ 是两条不同直线，则（）

A、若 $l / / α$ ， $m / / α$ ，则 $l / / m$ B、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l / / β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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12、若复数 $z = 1 + i$ ，则复数 $i z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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13、 $\cos 15 °$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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14、已知函数 $f (x) = sin x - x cos x + a x, x \in (0, π)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的零点个数并说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x$ ， $x \in (0,e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ，求实数 $k$ 的值．

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16、现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、4名男学生互不相邻；

(2)、2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生．

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17、 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} + \ln x + b (a \in R, b \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} < x_{2} \leq 2 x_{1}$ ，则 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为.

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18、将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有种不同分配方法．

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19、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, λ)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2, 2, 1)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $λ$ 的值为．

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20、在 $(1 + x)^{2 n} + x (1 + x)^{2 n - 1} + \dots + x^{n} (1 + x)^{n}$ 的展开式中， $x^{n}$ 的系数为（）.

A、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! n!}$ B、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! n!}$ C、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! (n + 1)!}$ D、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! (n + 1)!}$

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