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相关试卷

1、将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α (0 < α \leq \frac{π}{2})$ 后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \tan (\frac{π}{2} - α) x + b (b \in R)$ 至多有1个交点，则称函数 $f (x)$ 具有“α旋转不变性”.

(1)、证明：函数 $f (x) = \sin x$ ， $x \in [0, π]$ 具有“ $\frac{π}{4}$ 旋转不变性”；

(2)、若函数 $g (x) = m (x - 1) e^{x} - x \ln x - \frac{x^{2}}{2}$ 具有“ $\frac{π}{6}$ 旋转不变性”，求m的取值范围.

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2、长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%.

(1)、请完成下列2×2列联表，并根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联；
近视
每天近距离看电子产品时间超过1h
合计
是
否
是

否

合计

1000

(2)、研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图.
①根据散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c + d \ln x$ 哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由）
②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（ $6 \leq x \leq 16$ ，且 $x \in N^{*}$ ）的经验回归方程；
③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数）
参考公式及数据：（ⅰ） $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
α
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828
（ⅱ）回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
（ⅲ）散点图1中 $\bar{y} = 23.9$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 34.1$ ；散点图2中 $\bar{y} = 23.09$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 10.725$ .

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3、函数 $f (x) = x^{3} - 6 a x^{2} + 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $- \frac{1}{6} < a < 0$ 时，记 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上的最大值为M，最小值为m，求 $M - m$ 的取值范围.

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4、一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量 $X$ ，求：

(1)、质点位于2的位置的概率；

(2)、随机变量 $X$ 的分布列和期望.

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5、以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为时，容器的容积最大.

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6、袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则 $E (X) =$ .

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7、从0，1，2，3，4，5，6中任取3个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是.（用数字作答）

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8、设A，B是两个随机事件， $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若A，B相互独立， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \cup B) = 0.65$ B、若A，B互斥， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.2$ C、若 $P (\bar{A} | B) = P (B | \bar{A})$ ，则 $P (A) + P (B) = 1$ D、若 $P (\bar{A} |B) = P (\bar{A} |\bar{B})$ ，则 $P (A B) = P (A) P (B)$

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9、下列函数中，有两个零点的是（）

A、 $f (x) = e^{x} - x - 1$ B、 $f (x) = e^{x} - x - 2$ C、 $f (x) = \ln x - 2 x + 2$ D、 $f (x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2$

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10、 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有7项 B、展开式的二项式系数的和为128 C、展开式中 $x^{2}$ 的系数为14 D、展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大

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11、函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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12、人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程 $x^{2} - 2 = 0$ ，如果用二分法求近似解，给定初始区间 $[1, 2]$ ，若精确度 $ε = 0.1$ ，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值 $x_{0}$ ，在横坐标为 $x_{0}$ 的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 $x_{1}$ ，用 $x_{1}$ 代替 $x_{0}$ 重复上面的过程得到 $x_{2}$ ，一直继续下去得到 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， …， $x_{n}$ .它们越来越逼近函数的零点r，当 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 时， $x_{n}$ 或 $x_{n - 1}$ 即为方程的近似解.现给定初始值 $x_{0} = 2$ ，利用牛顿法求 $x^{2} - 2 = 0$ 的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布 $N (78, 7^{2})$ .如果按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩由高到低分为 $A, B, C, D$ 四个等级，那么 $B$ 等级的最高分数线约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ .

A、71 B、78 C、85 D、92

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14、随机变量X的分布列为 $P (X = 0) = 0.2$ ， $P (X = 1) = a$ ， $P (X = 2) = b$ .若 $E (X) = 1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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15、济南市某高中组织全部学生参加公益活动，其中高一、高二、高三年级人数之比为4：3：3，这三个年级分别又有20%，30%，40%的学生参加公益活动中的环保活动.从三个年级中任选一名学生，该学生参加环保活动的概率是（）

A、27% B、28% C、29% D、30%

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16、下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、函数 $f (x) = x \sin x$ 在点 $(- \frac{π}{2}, f (- \frac{π}{2}))$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\frac{π}{2}$

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18、大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（）

A、7 B、8 C、12 D、16

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求m的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点 $P (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 且平行于 $A M$ 的直线交直线 $x = \frac{5}{2}$ 于点 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 恒过定点.

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近视	每天近距离看电子产品时间超过1h		合计
近视	是	否	合计
是
否
合计			1000

α	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828