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相关试卷

1、如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，现将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $D - A B C E$ ，点 $P$ 为棱 $D B$ 上一点.

(1)、证明： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $E P$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ？若存在，求 $D P : D B$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2、如图，在梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B = B C = 2 C D = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，将 $△ A C D$ 沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角 $P - A C - B$ 为 $120^{\circ}$ ，连接PB，得到三棱锥 $P - A B C$ ，则该三棱锥外接球的表面积为．

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3、第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．

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4、 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + y)}^{5}$ 的展开式中 $y$ 的系数为．

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5、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，其短轴上的一个端点到 $F_{2}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l : b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、椭圆 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ C、若点 $P$ 是椭圆 $C$ 的蒙日圆上的动点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，分别交蒙日圆于 $M ， N$ 两点，则 $M N$ 的长恒为4 D、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - |A F_{2}|$ 的最小值为 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 3^{10}$ C、 $a_{2} = 180$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 10 \times 3^{9}$

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，以 $A$ 为顶点的三条棱长都是 $2, ∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E F$ $//$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A C_{1} = 3 \sqrt{2}$ D、 $A C_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.若 $f (1) = e$ ，且 $f^{'} (x) + e^{x} < f (x)$ 在 $R$ 上恒成立，则不等式 $f (x) < (2 - x) e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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9、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 2 \sqrt{2}, A D = 1$ .若 $A, B$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的两个公共焦点， $C, D$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两个交点，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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10、已知 $\frac{C_{n - 1}^{5} + C_{n - 3}^{3}}{C_{n - 3}^{3}} = \frac{19}{5}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、9 B、7 C、9或 $- 6$ D、8

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11、若 $C_{24}^{m} = C_{24}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为（）

A、83 B、119 C、164 D、219

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12、设随机变量 $X$ 的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
$\frac{1}{3}$
m
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (|X - 2| \leq 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{12}$

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13、给定三棱锥 $Ω$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面，称 $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.

(1)、若 $Ω$ 为三棱锥 $A - B C D$ ，满足 $A B = C D = A D = B C = 4$ ， $A C = B D = 2$ ，求出 $Ω$ 的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；

(2)、如图所示， $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ .

（ⅰ）若 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{a\}$ ，求 $a$ 的所有可能取值以及相对应的 $α$ 的个数；
（ⅱ）已知 $β$ 是 $Ω$ 的4阶等距平面，点 $A$ 与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 分别位于 $β$ 两侧.是否存在 $β$ ，使 $Ω$ 的4阶等距集为 $\{b, 2 b, 3 b, 4 b\}$ ，其中点 $A$ 到 $β$ 的距离为 $b$ ？若存在，求出 $β$ 截 $Ω$ 所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由.

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14、如图， $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C$ ， $∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、已知 $\sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（ⅰ）求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；
（ⅱ）若 $B D = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\frac{b ^{2} + c ^{2}}{a ^{2}}$ 的最小值.

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15、如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折至 $△ P B D$ 的位置，得到图2所示的三棱锥 $P - B C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若二面角 $P - B D - C$ 的平面角为 $60 ^{\circ}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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16、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间 $[50, 100]$ 内，将成绩数据分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计参赛学生成绩的 $70 %$ 分位数；

(2)、从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率.

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18、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A A_{1} = 3$ ，且平面 $A D D_{1} A_{1}$ ， $A B B_{1} A_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直.点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，若 $D_{1} P = \sqrt{7}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为.

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19、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的 $b$ 的值可以是（写出满足条件的一个值即可）.

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20、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为．

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X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	m	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$