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相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ， $A O = 4$ ， $B O = 2$ ， $Rt △ A O C$ 可以通过 $Rt △ A O B$ 以直线 $A O$ 为轴旋转得到，且二面角 $B - A O - C$ 是直二面角.动点 $D$ 在线段 $A B$ 上.

(1)、当 $D$ 为 $A B$ 的中点时，求异面直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值；

(2)、求 $C D$ 与平面 $A O B$ 所成角的正弦值的最大值.

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2、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记 $2011$ 年为 $x = 1$ ， $2012$ 年为 $x = 2$ 依次下去，得到下表：
$x$
1
2
3
4
5
储蓄存款 $y$ （千亿元）
5
6
7
8
10

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、用所求回归方程预测到 $2020$ 年年底，该地储蓄存款额可达多少?
附：对于线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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3、某商场为提高服务质量，随机调查了 $50$ 位男顾客和 $50$ 位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：

满意
不满意
合计
男顾客

10

女顾客

15

合计

(1)、分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)、完成题目中的 $2 \times 2$ 列联表，并通过计算判断能否有 $95 %$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附：
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ $.$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2, - 6)$ 的切线方程.

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5、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 20$ ， $D (X) = 15$ ，则 $p =$ .

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6、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⃑}{e} = (- 1, 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⃑}{n} = (\frac{1}{2}, 2 λ, - 1) (λ \in R)$ 若 $l ⊥ α$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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7、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p_{1} = \frac{5}{9}$ B、 $P (X_{1} = 2) = \frac{1}{6}$ C、数列 $\{p_{n} - \frac{3}{5}\}$ 是等比数列 D、 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) = 1$

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8、设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则下列结果正确的是（）
X
0
1
2
3
4
P
$q$
0.4
0.1
0.2
0.2

A、 $q = 0.2$ B、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.8$ C、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.4$ D、 $E (Y) = 3$ ， $D (Y) = 7.2$

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9、已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布 $N (70, 16)$ ，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（）（附：随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$

A、该校学生成绩的均值为70 B、该校学生成绩的标准差为4 C、该校学生成绩的标准差为16 D、该校学生成绩及格率超过95%

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10、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、已知二面角 $α - l - β$ ，其中平面 $α$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 0, - 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{n} = (0, - 1, 1)$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小可能为(　　 )

A、 $60^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} + k x$ 在 $x = 0$ 处有极值，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $e$

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13、已知随机变量 $X$ 服从两点分布， $E (X) = 0.7$ ，则其成功概率为（）

A、0 B、1 C、0.3 D、 $0.7$

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14、下列各关系不属于相关关系的是（）

A、产品的样本与生产数量 B、球的表面积与体积 C、家庭的支出与收入 D、人的年龄与体重

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15、某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组 $[75$ ， $80)$ ，第2组 $[80$ ， $85)$ ，第3组 $[85$ ， $90)$ ，第4组 $[90$ ， $95)$ ，第5组 $[95$ ， $100]$ 得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官 $L$ 的面试，设第4组中有 $ξ$ 名学生被考官 $L$ 面试，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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16、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 x$ 在 $x = - 1$ 和 $x = 3$ 处取得极值.

(1)、求 $a, b$ 的值：

(2)、求 $y = f (x)$ 在区间 $[- 4, 4]$ 上的最大值.

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17、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} M - C_{1}$ 的大小.

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18、在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是.

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19、函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ 的导函数为．

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20、 $\vec{ν}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}$ 和 $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ 与 $β$ 的法向量（ $α$ 与 $β$ 不重合， $l ⊄ α$ ），下列说法：① $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ∥ β$ ；② $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ；③ $\vec{ν} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ；④ $\vec{ν} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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$x$	1	2	3	4	5
储蓄存款 $y$ （千亿元）	5	6	7	8	10

	满意	不满意	合计
男顾客		10
女顾客		15
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

X	0	1	2	3	4
P	$q$	0.4	0.1	0.2	0.2