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相关试卷

1、随机变量 $X$ 的概率分布列为 $P (X = \frac{k}{3}) = a k (k = 1, 2, 3)$ ，其中 $a$ 是常数，则 $D (9 X - 1)$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、35

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2、已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ，设该圆过点 $(2, 2)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、32 B、 $12 \sqrt{2}$ C、16 D、 $6 \sqrt{7}$

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3、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差是2，若 $a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ （）

A、 $n (n + 2)$ B、 $n (n + 1)$ C、 $n^{2}$ D、 $n (n - 1)$

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4、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中常数项等于（　　）

A、60 B、﹣60 C、15 D、﹣15

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5、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}), P (X > 0) = 0.7$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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6、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若存在常数 $t$ ，使得 $a_{n + 1} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} + t (n \in N^{*})$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”．

(1)、若 $c_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ ，试判断数列 $\{c_{n}\}$ 是否为“ $H (t)$ 数列”，请说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”，且 $a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} = a_{n + 1} + \log_{2} b_{n} - t$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”，且 $a_{1} > 1$ ， $t > 0$ ，证明： $\ln a_{n} < a_{n} - 1$ ．

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7、某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设 $A =$ “抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”， $B =$ “抽取的学生建立了个性化错题本”，且 $P (A |\bar{B}) = \frac{2}{3}, P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $P (B |\bar{A})$ 和 $P (A |B)$ ；

(2)、若该班级共有36名学生，请完成 $2 \times 2$ 列联表，并分析能否有 $99 %$ 的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关；
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及价 $\bar{A}$
不及格A

建立B

未建立 $\bar{B}$

合计

(3)、现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
（附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．）

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ （其中 $m$ ， $k$ ， $p$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A C$ ， $A B ⊥ B C, P A = 2, A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，设 $D, E, F$ 分别为棱 $P C, A C, A B$ 的中点，且 $D F = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $D E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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10、已知正四棱台上底面边长为 $3 cm$ ，侧棱和下底面边长都是 $9 cm$ ，则体积为 ${cm}^{3}$ ．

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11、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $Ρ (0 < ξ < 2) =$ .

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内一点（含边界），若 $B P //$ 平面 $D_{1} E F$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹为一条线段 B、三棱锥 $P - D_{1} E F$ 的体积为定值 C、 $|B_{1} P|$ 的取值范围是 $[\sqrt{5}, 3]$ D、平面 $P B C_{1}$ 截该正方体的外接球所得截面的面积为 $\frac{26π}{9}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, |a_{n + 1}| = |a_{n} + 1| (n \in N^{*})$ ，则（）

A、存在等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足上述递推公式 B、存在等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足上述递推公式 C、存在周期数列 $\{a_{n}\}$ 满足上述递推公式 D、存在摆动数列 $\{a_{n}\}$ 满足上述递推公式

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14、已知盒中有大小相同的2个红球和2个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是（）

A、每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是相互独立的 B、每次摸出1个球并放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 $\frac{n}{2}$ C、每次摸出1个球不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 $\frac{1}{3}$ D、每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 $\frac{1}{4}$

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有三个实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{6}{e^{3}})$ B、 $(- 2 e, 0)$ C、 $(- 2 e, \frac{6}{e^{3}})$ D、 $(- \frac{2}{e}, 6 e^{3})$

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16、已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且 $Y = 10 X + 300$ ，则 $D (Y) =$ （）

A、97 B、98 C、99 D、100

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17、已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为 $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则 $x = 4$ 时的残差为（）
x
4
4.5
5
5.5
6
y
7
6
4
2
1

A、0.2 B、 $- 0.3$ C、0.4 D、 $- 0.2$

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18、已知函数 $f (x) = \ln x - m x$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递减，则实数m的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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19、一个圆锥的母线长为8，母线与轴的夹角为 $30 °$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且满足 $a_{3} + a_{11} = 50$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 等于（）

A、84 B、72 C、75 D、56

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个性化错题本	期末统考中的数学成绩		合计
个性化错题本	及价 $\bar{A}$	不及格A
建立B
未建立 $\bar{B}$
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	0.05	0.01	0.001
k	3.841	6.635	10.828

x	4	4.5	5	5.5	6
y	7	6	4	2	1