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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{b}{2 c - b} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是线段 $B C$ 上的一点， $B D : D C = 1 : 2$ ， $A D = 2$ ，且内角 $A \leq B$ ，求 $a$ 的最小值.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ . $A B = P A = 4$ ， $F$ 是 $P B$ 中点.

(1)、求证： $P D$ ∥平面 $A C F$ ；

(2)、求点 $P$ 到平面 $A C F$ 的距离.

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3、兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时.

(1)、若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为 $\frac{1}{2}$ ，停车付费多于10元的概率为 $\frac{1}{6}$ .求甲停车付费恰为5元的概率；

(2)、若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率.

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4、已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $sin α = \frac{4}{5}$ ， $sin β = \frac{12}{13}$ .

(1)、求 $cos (β - α)$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin 2 α - {cos}^{2} α}{1 + cos 2 α}$ 的值.

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5、《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形 $A B C D E F G H$ 和圆 $O$ （图2），其中正八边形的中心是点 $O$ ，鱼眼（黑、白两点） $P$ ， $Q$ 是圆 $O$ 半径的中点，且关于点 $O$ 对称.若 $O A = 4 \sqrt{2}$ ，圆 $O$ 的半径为3，当太极图转动（即圆面 $O$ 及其内部点绕点 $O$ 转动）时， $\vec{P A} \cdot \vec{Q C}$ 的最大值为.

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为线段 $B C$ 的中点，若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $A D =$ .

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7、如图所示，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B^{'} C^{'}$ ， $C^{'} D^{'}$ 的中点， $E$ 是线段 $B^{'} D^{'}$ 上的动点，则下列判断正确的是（）

A、三棱锥 $N - M A E$ 的体积是定值 B、过 $A$ ， $M$ ， $N$ 三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C、存在唯一的点 $E$ ，使得 $A E ⊥ M N$ D、 $A E$ 与平面 $A M N$ 所成的角为定值

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8、下列各式的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $sin 870 °$ B、 $sin 15 ° cos 15 °$ C、 $cos 40 ° cos 20 ° - sin 40 ° sin 20 °$ D、 $\frac{tan 22.5 °}{1 - {tan}^{2} 22.5 °}$

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9、已知复数 $z = - 1 + 3 i$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部是 $3 i$ B、 $|z| = \sqrt{10}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z - 3 i$ 是纯虚数

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10、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ C B D = 30^{°}$ ， $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，则此三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $32 π$

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11、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是线段 $B C$ 上一点，若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + x \vec{A C}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、从1，2，3，4中任取2个数，设事件 $A =$ “2个数都为偶数”， $B =$ “2个数都为奇数”， $C =$ “至少1个数为奇数”， $D =$ “至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 是互斥事件 B、 $A$ 与 $C$ 是互斥但不对立事件 C、 $C$ 与 $D$ 是互斥事件 D、 $A$ 与 $D$ 是对立事件

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13、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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14、设 $sin θ - cos θ = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则 $sin 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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16、已知 $D$ ， $E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 的中点，若 $\vec{B C} = (12, 16)$ ， $D (- 2, - 3)$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(4, 5)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(- 5, - 7)$ D、 $(- 8, - 11)$

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17、从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在 $[50, 350]$ 内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在 $[50, 200]$ 内的用户月用电量的平均数；

(3)、抽取的100户居民月用电量落在 $[50, 200]$ 内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在 $[50, 200]$ 内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在 $[200, 350]$ 内的用户月用电量的标准差．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1, E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥ A C, B C ⊥ C C_{1}$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(2)、若侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形，求证： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

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20、设两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

(1)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向的单位向量；

(2)、若向量 $2 t \vec{a} + 7 \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + t \vec{b}$ 反向，求实数 $t$ 的值．

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