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相关试卷

1、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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2、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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3、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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4、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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5、设事件 $A, B$ 为两个随机事件， $P (A) \neq 0, P (B) \neq 0$ ，且 $P (\bar{A} | B) = P (B | A)$ ，则（）

A、 $P (B | \bar{A}) = P (\bar{B} | A)$ B、 $P (\bar{B} | A) = P (A | B)$ C、 $P (B | \bar{A}) = P (A | B)$ D、 $P (\bar{A} | B) = P (\bar{B} | \bar{A})$

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6、如图，在平行六面体 $A C_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，过 $B_{1}, D_{1}, E$ 三点的截面 $D_{1} B_{1} E F$ 把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（）.

A、 $3 : 4$ B、 $5 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $7 : 17$

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7、一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（）

A、 $\frac{C_{3}^{2} C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}}$ B、 $\frac{C_{3}^{1} C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}}$ C、 $\frac{C_{3}^{1} C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}$ D、 $\frac{C_{3}^{2} C_{10}^{1}}{C_{10}^{3}}$

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8、在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 1 + 3 i$ ，向量 $\vec{A C}$ 对应的复数为 $- 2 + i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为（）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $- 3 + 4 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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9、命题“ $\forall x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - x - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq - \frac{1}{4}$ B、 $a \leq 0$ C、 $a \geq 6$ D、 $a \geq 8$

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10、如图，在棱长均为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{°}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $B D_{1}$ 长为 $2 \sqrt{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ D、 $A A_{1} ⊥ B D$

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11、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ x \leq - 2}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ x > 1}$

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12、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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13、牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ．如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值．再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值．重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解．对于函数 $f (x) = x + e^{x}$ ，已知 $f (r) = 0$ ．

(1)、若给定 $x_{0} = 0$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、函数 $h (x) = x (\ln x - 1) - \ln x + e^{x} - e^{- x}$ ．
①试写出函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系式；
②证明： $m > e - 2$ ．

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} N}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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16、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17、已知 $△ A B C$ ， $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，第三个顶点C在曲线 $y = 3 x^{2} - 1$ 上移动，则 $△ A B C$ 的重心的轨迹方程是．

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18、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2 n - 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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19、若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 5 m = 0$ 表示的曲线为圆，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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20、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 40$ ， $a_{3} - a_{5} = 30$ ，则（）

A、公比为 $\frac{1}{4}$ B、 $a_{2023} = 16 a_{2025}$ C、当 $n \geq 6$ 时， $a_{n} < \frac{1}{2}$ D、 $\{a_{n}\}$ 的前10项积为1

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