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相关试卷

1、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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2、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E、F、G分别为棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B_{1} E$ ∥平面 $A C G$ ；

(2)、在线段 $C C_{1}$ 是否存在一点 $N$ ，使得平面 $N E F$ ∥平面 $A_{1} B C_{1}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{c} + 2 \vec{d}|$ ．

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4、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ；当 $t \in [- 1, 2]$ 时， $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为．

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5、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

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6、下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线

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7、如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若 $\vec{A B} = λ \vec{A M} + μ \vec{A N}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = \sqrt{6}$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{O B}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{O B}$

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9、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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10、在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数 $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $e$ 是自然对数的底数（ $e = 2.71828$ …）

(1)、解方程 $\sinh (x) \cdot \cosh (x) = 1$ ；

(2)、求不等式 $\cosh (2 x - 1) - \cosh (x - 2) < 0$ 的解集；

(3)、对于任意 $x_{1} \in [0, \ln 3]$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使不等式 $\cosh (x_{2}) + \sinh (x_{1}) \leq a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{3}, x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = a$ 在区间 $(0, \frac{7}{6} π)$ 上恰有三个交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (m) = f (n), n > m > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值；

(3)、若方程 ${(\ln x)}^{2} - 2 a |\ln x| + 2 a^{2} - 2 = 0$ 有四个不等实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 2)$ ，求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 1$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{2}, 3), f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边经过点 $(- 1, - 2)$ ．

(1)、求 $\tan α$ 和 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{π}{2} - α)}{2 \sin (π - α) + \sin (\frac{3}{2} π + α)}$ 的值．

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15、已知实数 $x, y$ 满足 $3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围是．

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16、不等式 $k x^{2} + 2 k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (e)) =$ ．

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18、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) \geq 0$ ，且 $f^{2} (x + y) + f^{2} (x - y) = 2 [f^{2} (x) + f^{2} (y)], f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 对称 C、 $f (3) = 6$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (10) = 110$

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19、已知 $f (x) = |\sin x| + |\cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[1, \sqrt{2}]$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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20、下列命题为真命题的是（）

A、 $x y > 0$ 是 $x > 0, y > 0$ 的必要不充分条件 B、若 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), \cos α \cos β = 3 \sin α \sin β$ ，则 $α + β$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若幂函数 $y = x^{m}$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，则函数 $f (x) = \log_{a} (x + m)$ 的图象恒过定点 $(- 2, 0)$

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