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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + |sin x - cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ D、 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个不同的实数解

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2、为了解目前本市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 $X ~ N (70, 100)$ ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）
参考数据：随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、该校学生体育成绩的方差为100 B、该校学生体育成绩的期望为70 C、该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 D、该校学生体有成绩的及格率不到 $85 %$

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3 a x + a - 1, x < 1, \\ x^{a} + ln (x + e - 1), x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[\frac{2}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{3}, 2]$ D、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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4、给定一个数列 $\{a_{n}\}$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则把数列 $\{b_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列.若数列 $\{c_{n}\}$ 的一阶差数列 $\{t_{n}\}$ 的通项公式为 $t_{n} = n + 2^{n - 1}, c_{1} = 1$ ，则 $c_{9} =$ （）

A、556 B、557 C、292 D、291

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5、科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的 $10 %$ .

(1)、现有① $f (x) = 0.02 x + 5$ ；② $f (x) = {0.2}^{x} + 10$ ；③ $f (x) = 10 \log_{2} x - 50$ 三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当 $x \in [600, 1600]$ 时，判断哪个函数模型符合公司要求？

(2)、根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？

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6、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在 $[5, 20]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围．

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7、张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正数 $m$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{|f (v) - f (u)|}{|v - u|} \leq m$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为“差商有界”函数；若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正整数 $r$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{{|f (v) - f (u)|}^{r}}{|v - u|} \leq 1$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为 “广义差商有界”函数.

(1)、已知 $f (x) = \sqrt{x}$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?

(2)、已知函数 $f (x) = x ln x$ .
（i）判断 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是“广义差商有界”函数，求正整数 $r$ 的最小值.

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8、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 共线，则 $A, B, C, D$ 必在同一条直线上 B、若 $A, B, C$ 为平面内任意三点，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ C、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、已知向量 $\vec{a} = (4 + x, y - 2), \vec{b} = (x, y)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + 2 y = 0$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x + 2}$ ，且 $f (1) = - \frac{2}{3}$ ， $f (2) = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 2, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明．

(3)、若对 $\forall x \in [0, 3]$ ， $f (x) - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $b_{n + 1} = λ S_{n} + 1$ ，其中 $λ \neq - 1$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在（1）的条件下，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，已知 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ，证明： $\frac{5}{6} \leq T_{n} < 1$ ；

(3)、当 $λ = - \frac{4}{3}$ 时，若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{1} = μ$ （ $μ > 0$ ），且 $d_{n + 1} - d_{n} = - \frac{μ^{2}}{3} b_{n}$ ，若对任意正整数i，j（ $i \neq j$ ）， $|d_{i} - d_{j}| < 1$ 恒成立，求实数 $μ$ 的取值范围.

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11、在平面直角坐标系xOy中，动点 $P (x, y)$ （ $y \geq 0$ ）到点 $F (0, 1)$ 的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过直线l： $x - 2 y - 2 = 0$ 上一点Q作轨迹 $Γ$ 的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；

(3)、过点 $R (0, 4)$ 的动直线 $l^{'}$ 与轨迹 $Γ$ 交于C，D两点，直线CF交轨迹 $Γ$ 于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} - a (\frac{1}{2} x - \ln x)$ ，其中 $a$ 为常实数.

(1)、当 $a = 4$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在其定义域内的单调性；

(2)、若 $x_{0}$ 是函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} a x$ 的极大值点，证明： $g (x_{0}) > x_{0}$ .

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13、在如图所示的多面体 $A B C - E F D$ 中，已知四边形 $A C D E$ 为菱形，其对角线 $A D$ 和 $C E$ 相交于H点，G是棱 $B D$ 的中点， $E F / / A B$ ，且 $E F = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $A C D E$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A C D E$ ， $A B = A C = A D = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $B F D$ 所成角的余弦值.

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14、我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）
2
3
6
10
13
15
18
21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 347$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 1308$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2} = 93$ ， $\sqrt{1785} \approx 42.25$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

(1)、根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当 $|r|$ 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 $|r|$ 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；

(2)、已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（ $p \in (0, 1)$ ），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若 $P (X = 5) = P (X = 4)$ ，求随机变量X的数学期望和方差

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15、某无人机爱好者在 $2025$ 年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为 $A, B, C, D, E, F$ 六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同， $B$ 区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则点 $A_{1}$ 到平面BDE的距离为.

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17、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为.

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18、若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类余弦型”函数.已知函数 $f (x)$ 为“类余弦型”，若 $f (x) > 0$ ，且对任意非零实数 $x$ ， $f (x) > 1$ .则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (2) = \frac{17}{8}$ ，则 $f (1) = \frac{5}{2}$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、若有理数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，则 $f (x_{2}) > f (x_{1})$

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l过点 $F_{2}$ 与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得 $△ P M N$ 的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $△ M N F_{1}$ 的周长为4 C、定点P的坐标为 $P (4, 0)$ D、当 $M N ⊥ x$ 轴时， $△ P M N$ 的内切圆圆心坐标为 $(\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{4}, 0)$

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20、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 内单调递增

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年份代码i	1	2	3	4	5	6	7	8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）	2	3	6	10	13	15	18	21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）	1	1	2	2.5	3.5	3.5	4.5	6