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相关试卷

1、一艘海轮从 $A$ 处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东 $40^{\circ}$ 的方向直线航行，2小时后到达 $B$ 处，在 $C$ 处有一座灯塔，海轮在 $A$ 处观察灯塔，其方向是南偏东 $70^{\circ}$ ，在 $B$ 处观察灯塔．其方向是北偏东 $65^{\circ}$ ，那么 $B, C$ 两点间的距离是（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 海里 B、 $50 \sqrt{3}$ 海里 C、 $100 \sqrt{3}$ 海里 D、 $100 \sqrt{2}$ 海里

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2、若直线 $l$ 与函数 $f (x) = e^{x - 2} (x > 1)$ 和 $g (x) = ln x$ 的图象分别相切于点 $A, B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若对任意 $x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{25}$ 成立，则称集合A具有性质M．

(1)、判断集合 ${1, 2, 3, 4}$ 是否具有性质M；

(2)、已知集合A具有性质M，求证： $\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - i}{25} (i = 1, 2, \dots, n)$ ；

(3)、已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．

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4、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，集合 $A = \{x \in N | x < 5\}$ ， $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $∁_{B} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$

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5、设 $a > b > c > 0$ ，则 $2 a^{2} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{a (a - b)} - 10 a c + 25 c^{2}$ 的最小值是

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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6、若“ $x > 2 a^{2} - 3$ ”是“ $1 \leq x \leq 4$ ”的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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7、下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件 B、命题“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ” C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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8、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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9、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A \cap ∁_{U} B = {1, 3, 4, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${1, 3, 4, 6}$ C、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ D、 $\emptyset$

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10、已知集合 $P = {x| x (x - 1) \geq 0}, Q = \{x| \frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $P \cap Q$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x| x \geq 1\}$ C、 ${x| x > 1}$ D、 ${x| x \geq 1 或 x < 0}$

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11、若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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13、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x} - a, x < a, \\ 2 - x - 2 a, x \geq a \end{array}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15、若随机事件 $A$ 、 $B$ 满足： $P (A) = P (B)$ ， $P (A + B) = \frac{7}{8}$ ， $P (A B) = \frac{5}{8}$ ，则 $P (A |B) =$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{3 n + k}{2^{n}}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则实数k不能取的值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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17、已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的60%分位数是13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + b$ ，则 $b = 11.05$

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18、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（）项

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、已知过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则θ的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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20、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 8 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $4 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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月份x	1	2	3	4	5	6
销量y（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3