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相关试卷

1、在四面体 $P - A B C$ 中， $P A, P B, P C$ 两两垂直，设 $P A = P B = P C = a$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3} a$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ C、 $\frac{a}{3}$ D、 $\sqrt{6} a$

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2、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E为BB₁的中点，则平面A₁ED与平面ABCD所成角的正弦值为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、若 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ 为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（）

A、 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ B、 $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ C、 $\overset{⃑}{c}$ ， $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ D、 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ ， $2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$

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4、过点 $(3, - 4)$ 且平行于直线 $2 x + y - 5 = 0$ 的直线方程是（）

A、2x+y+2=0 B、2x-y-2=0 C、2x-y+2=0 D、2x+y-2=0

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5、已知 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, 5, - 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、11 B、 $- 13$ C、45 D、3

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6、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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7、直线 $2 x + (m + 1) y - 2 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，那么 $m$ 的值是（　　）

A、 $2$ B、 $- 3$ C、 $2$ 或 $- 3$ D、 $- 2$ 或 $- 3$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (a) = 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ .

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9、已知O为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．定义椭圆C上点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的“和点”为 $Q (x_{0} + y_{0}, x_{0} - y_{0})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记OP，OQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围；

(3)、若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，且 $O A_{1} ⊥ O B_{1}$ ，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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10、 $2^{a} > 2^{b}$ 是 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 3 < x < 5} ， B = {x ∣ x - m > 0}$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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12、已知向量 $\vec{A B} = (2, - 1, - 4)$ ， $\vec{A C} = (4, 2, 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1, 2, - 1)$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $|\vec{B P}| = 2 \sqrt{3}$ B、 $\vec{B C} ⊥ \vec{A P}$ C、 $\vec{A P}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量 D、 $\vec{A B} ⊥ \vec{A P}$

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13、给出下列四个命题，其中正确的有（）
（1）若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量 $\vec{c}$ ，由 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
（4）在向量的数量积运算中 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

A、0个 B、1个 C、2个 D、4个

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14、如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点， $\vec{A Q} = λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，则下列结论正确的有（　　）

A、 $B C ⊥$ 平面 $A C D$ B、存在 $λ$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A C D$ C、存在 $λ$ ，使得 $P Q / /$ 平面 $B C D$ D、若存在 $λ$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B D$ ，则 $C D = \sqrt{2} C B$

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15、已知函数 $f (x) = (x + m) ln x$ ， $g (x) = x + a sin x + b ln x$ .

(1)、当 $m = 1$ 时， $x > 1$ 时，证明： $f (x) > 2 (x - 1)$ .

(2)、设 $0 < a < 1$ ， $b < 0$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ .证明： $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > \frac{2 \sqrt{- b}}{\sqrt{a + 1}}$ .

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16、如图所示，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $α$ 经过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，与棱 $P B$ ， $A C$ 分别交于点 $F$ ， $D$ ，且 $B C //$ 平面 $α$ ， $P A //$ 平面 $α$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $α$ ；

(2)、若 $A B = B C = P A = 2$ ，点 $M$ 是直线 $E F$ 上的动点，求平面 $M A C$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值的最大值．

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17、在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} a \sin B = b (1 + \cos A)$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $c = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上且 $B D = 2 D C$ ，求线段 $A D$ 的长．

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18、苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边 $W$ 城市开设加盟分店，为了确定在 $W$ 城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记 $x$ 表示在相城区的5个区域开设分店的个数， $y$ 表示这 $x$ 个分店的年收入之和.
$x$ （个）
2
3
4
5
6
$y$ （十万元）
2.5
3
4
4.5
6

(1)、该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程：

(2)、如果该公司最终决定在 $W$ 城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异?

不下单
下单
合计
分店一

分店二

合计

参考公式： $\hat{b} = \frac{∑_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{∑_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $x_{0.1} = 2.706$

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19、设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ - x^{2} + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $h (x) = g (f (x)) - a$ 有六个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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20、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为.

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$x$ （个）	2	3	4	5	6
$y$ （十万元）	2.5	3	4	4.5	6

	不下单	下单	合计
分店一
分店二
合计