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相关试卷

1、柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数 $a, b, c, d$ ，有 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$ 当 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数 $a, b, c, d, e, f$ ，有 $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (d^{2} + e^{2} + f^{2}) \geq {(a d + b e + c f)}^{2}$ 当 $\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$ 时，等号成立.

(1)、证明二阶柯西不等式： $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$

(2)、若 $a + 2 b + 2 c = 3 \sqrt{3}$ 求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(3)、若 $a + b + c = 1$ ， $- \frac{1}{3} \leq a, b, c \leq \frac{5}{3}$ 求 $f = \sqrt{3 a + 1} + \sqrt{3 b + 1} + \sqrt{3 c + 1}$ 的取值范围．

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2、据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N^{*})$ ，调整后研发人员的年人均投入增加 $\frac{20}{7} x ％$ ，技术人员的年人均投入调整为 $50 (m - \frac{12 x}{175})$ 万元.

(1)、要使这 $(100 - x)$ 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人；

(2)、若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x + 4 .$

(1)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为R ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a < 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq (\frac{a}{2} +1) x^{2}$ 的解集.

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4、给定函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、在图一的直角坐标系中画出函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、观察图象，直接写出不等式 ${(x + 1)}^{2} > x + 1$ 的解；

(3)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ . 例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = \max \{f (2), g (2)\} = \max \{3, 9\} = 9$ . 请在图二中画出函数 $M (x)$ 的图象并求其解析式.

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5、已知 $A = \{x | - x^{2} + x + 6 \geq 0\}, B ={x | a - 2 < x < 3 a}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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6、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 1$ ， $f (2025) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) =$ ..

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7、已知 $x > 2, y > - 2, x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2 y + 4}$ 的最小值为.

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8、已知集合 $P = \{x |2 x^{2} + x - 3 = 0\}$ ， $Q = \{x |m x = 1\}$ ，若 $Q \subseteq P$ ，则实数 $m$ 的取值集合为.

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9、若正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x y$ 有最大值 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值 $9$ C、 $x (y + 1)$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{y^{2}}{y + 1}$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则 $x$ 的值是 $1$ 或 $\sqrt{3}$ C、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$ D、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$

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11、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2},2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $f (1) > 0$ C、 $f (3) > 0$ D、 $f (- 2) < 0$

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12、已知 $a > 0$ ，设 $p$ ： $- a \leq x \leq 3 a$ ， $q$ ： $- 1 < x < 6$ .若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $1 < a < 2$ B、 $1 \leq a \leq 2$ C、 $0 < a < 1$ D、 $0 < a \leq 1$

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13、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}, N = \{x | x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 3}$

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14、如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = B D = 2 C E = 2$ ， $C E ∥ B D$ ， $B D ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $F$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A D E$ 夹角的正弦值．

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15、已知直线 $l$ 的方程为 $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ．

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，直线 $l$ 必过定点 $M$ ；

(2)、过点 $M$ 的直线 $l_{1}$ 交坐标轴正半轴于 $A, B$ 两点，当 $△ A O B$ 面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长．

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16、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 2, - 1)$ ， $C (4, 3)$ ， $M$ 为 $B C$ 边的中点.

(1)、求直线 $A B$ 的斜率；

(2)、求中线 $A M$ 的方程.

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17、直线 $l$ 过 $(- 3, 1)$ 且在两坐标轴上截距相等，则直线 $l$ 的方程为.

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18、若直线 $2 x + t y - z = 0 (t \in R)$ 与 $2 x - y + 3 = 0$ 垂直，则 $t =$ .

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19、已知直线 $l_{1} : m x - y - 3 = 0$ ，直线 $l_{2} : 4 x - m y + 6 = 0$ ，则下列命题正确的有（）

A、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(0, - 3)$ B、存在m使得直线 $l_{2}$ 的倾斜角为90° C、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m = 2$ 或 $m = - 2$ D、存在实数m使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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20、以下命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量， $l ⊥ α$ ，则 $λ \vec{a} (λ \in R)$ 是平面 $α$ 的法向量 B、若 $\vec{A B} = λ \vec{C D} + μ \vec{C E}$ ，则直线 $A B / /$ 平面 $C D E$ 或 $A B \subset$ 平面 $C D E$ C、A，B，C三点不共线，对平面 $A B C$ 外任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + \frac{1}{8} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一个基底

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