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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 2$ ， $P A = P B = \sqrt{2}$ ． $M$ 是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $M Q ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为垂足，当三棱锥 $M - A B Q$ 体积最大时，求平面 $A B M$ 与平面 $A B P$ 的夹角的余弦值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} + 3 = 3 b_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的正整数n，不等式 $\frac{4}{3} T_{n} - 1 < λ \cdot 9^{n}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 2$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $- 2$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最值．

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4、任何有理数 $\frac{m}{n}$ 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为 $\frac{m}{n}$ 的形式，从而是有理数：则无限循环小数 $1. \dot{5} =$ （写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列 $\{a_{n}\}$ ，设数列 $b_{n} = \frac{1}{(10^{n + 1} - 1) \cdot (a_{n} - 1)}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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5、根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，且语文和数学考试成绩互不影响，则语文和数学至少有一科及格的概率为．

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6、函数 $f (x) = 5 x - \ln x$ 的单调递减区间是．

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7、已知直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，动点M满足 $\vec{B M} = λ \vec{B D} + μ \vec{B B_{1}}$ （ $0 \leq λ \leq 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $M D_{1} ⊥ A C$ B、当 $λ = 0$ ， $μ = 1$ 时，三棱锥 $M - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ C、若直线DM与直线 $C A_{1}$ 所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分 D、记点M到直线AC的距离为d，当 $λ + μ = 1$ 时，则d的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，且数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{8} = 64$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $S_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ D、1275既是三角形数，又是正方形数

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9、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列命题中正确的是（）

A、 $- 3$ 和 $- 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 B、 $- 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的最小值点 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上单调递增 D、 $y = f (x)$ 在 $x = - \frac{3}{2}$ 处切线的斜率大于零

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10、已知正实数x，y满足 $\frac{x}{3} + 3 y - 2 = \ln x + \ln y$ ，则 $x + y =$ （）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{10}{3}$

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11、已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若 $B F ⊥ A C$ ，若 $| B F | = 3 | C F |$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $D D_{1}$ 的中点，F为线段 $B B_{1}$ 的中点，则平面 $A E B_{1}$ 到平面 $C_{1} D F$ 的距离为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} \cdot a_{8} = 3$ ， $a_{3} + a_{7} = 4$ ，则 $\frac{S_{8}}{S_{4}} =$ （）

A、3 B、 $\frac{4}{3}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$ 或4

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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15、已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式 $S (t) = \sin t + 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬间速度为（）

A、 $0 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $2 m / s$ D、 $3 m / s$

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{3} + a_{9} = 4 a_{5}$ ， $a_{2} = - 4$ ，则首项 $a_{1}$ 等于（）

A、0 B、 $- 2$ C、 $- 6$ D、 $- 8$

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17、袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{15}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、定义：若非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ ，函数 $f (x)$ 的解析式满足 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，则称 $f (x)$ 为 $\vec{O M}$ 的“线性函数”， $\vec{O M}$ 为 $f (x)$ 的“线性向量”，

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 为函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 4 sin (x - \frac{π}{2})$ 的“线性向量”，求 $|\vec{O M}|$

(2)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的“线性函数”，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{3}, f (A) = 1$ ，且 $cos B cos C = - \frac{1}{8}$ ，求 $A B + A C$ 的值；

(3)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, 1)$ 的“线性函数”，且当 $x \in [0, \frac{11 π}{6}]$ 时，方程 $f^{2} (x) + (2 - a) f (x) + a - 3 = 0$ 存在4个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为 $a$ ，点 $R$ 是棱 $P C$ 的中点，点 $Q$ 是底面 $A B C D$ 内任意一点，点 $Q$ 到侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B R D$ ；

(2)、求 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}$ ；

(3)、记 $P Q$ 与侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 所成的角分别为 $α, β, γ, δ$ ，证明： ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ + {cos}^{2} δ > \frac{20}{9}$ ．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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