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相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $A C = 3 A B$ ，则 $\sin C =$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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2、一个圆台的上、下底面的半径分别为 $1$ 和 $4$ ，体积为 $28 π$ ，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ．已知 $4 b sin B = a sin A, tan \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{6} \vec{b}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$

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5、已知函数 $f (x) = a \ln x - x + \frac{2}{x}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq \frac{2}{x} - 1$ 恒成立，求a的值；

(3)、求证：对任意正整数 $n (n \geq 2)$ ，都有 $(1 + \frac{1}{2^{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{3^{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e$ （其中e为自然对数的底数）.

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6、在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首.

(1)、求甲、乙两班选择不同曲目的概率；

(2)、设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列.

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7、在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在 ${(a x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中，_____．
（1）求 $n$ 的值；
（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

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8、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的切线方程且平行于x轴 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数k，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对两个不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2} + \ln 4$

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9、下列说法正确的是（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B、4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ， $f (0) = 3$ ，则不等式 $f (x) > 2 e^{x} + 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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11、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、 $x = - 3$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点

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12、 ${(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、 $- 210$ B、 $- 120$ C、120 D、210

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13、3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（）

A、81 B、64 C、24 D、12

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14、下列求导运算正确的是（）

A、 $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ B、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x} ln 2$ D、 ${(sin \frac{π}{3})}^{'} = cos \frac{π}{3}$

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15、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b] (a < b, I \subseteq D)$ ，若满足 $\forall x \in I$ ，恒有 $y \in [a + n, b + n] n \in N^{*}$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的增长系数为 $n$ ．例如，若函数 $y = f (x)$ 满足 $\forall x \in [a, b]$ ，恒有 $y \in [a + 1, b + 1]$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的增长系数为1．

(1)、求函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ ， $y = 7 - \frac{6}{x}$ 在 $[2, 4]$ 上的增长系数；

(2)、若3和4都是函数 $f (x) = \frac{2^{x + 2} + λ}{2^{x} + 1}$ 在 $[- 1, 1]$ 上的增长系数，求 $λ$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \log_{2} (4^{x} + 2^{n} + m)$ ， $n \in N^{*}$ 在 $[2, 4]$ 上的增长系数仅为 $n$ ，求 $n$ 的最小值及此时 $m$ 的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = sin 2 x cos φ - cos 2 x cos (\frac{π}{2} + φ) (0 < |φ| < \frac{π}{2})$ ，对 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq |f (\frac{π}{3})|$ .

(1)、求 $φ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 4$ ， $f (B) = 1$ ，其面积为 $5 \sqrt{3}$ ，求内角B的角平分线BD的长度；

(3)、将函数 $y = f (x)$ 图象上的所有点，向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $\exists x \in [0, π]$ ， $\sqrt{2} g (x) + \sin 2 x \leq 2 m^{2} - 3 m$ ，求实数m的取值范围．

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17、在平行四边形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， F是线段AD的中点， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ， $λ \in [- 1, 1]$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， AE与BF交于点N， $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $x - y$ 的值；

(2)、求 $\vec{B E} \cdot \vec{F E}$ 的最小值．

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18、如图，A，B是某海域位于南北方向相距 $30 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ ， B点南偏东 $30 °$ 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)、求B，C两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据： $\cos 21.79 ° = 0.93$ ，角度精确到0.01）

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19、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $D$ 是棱 $A B$ 上的点．

(1)、求该正三棱柱的表面积以及三棱锥 $A_{1} - B_{1} C_{1} D$ 的体积；

(2)、设E为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，F为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值，此时 $B F$ 的长度是多少？

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20、“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若A，B，C是 $△ A B C$ 的三个内角，则对任意实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，有： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 2 x y \cos C + 2 x z \cos B + 2 y z \cos A$ ，不等式的取等条件为：存在实数k，使得 $x = k \sin A$ ， $y = k \sin B$ ， $z = k \sin C$ ．根据以上材料，在 $△ A B C$ 中， $2 \cos A + \cos C + \cos B$ 的最大值为．此时， $\cos A =$ ．

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