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相关试卷

1、如图，A，B是某海域位于南北方向相距 $30 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ ， B点南偏东 $30 °$ 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)、求B，C两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据： $\cos 21.79 ° = 0.93$ ，角度精确到0.01）

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2、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $D$ 是棱 $A B$ 上的点．

(1)、求该正三棱柱的表面积以及三棱锥 $A_{1} - B_{1} C_{1} D$ 的体积；

(2)、设E为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，F为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值，此时 $B F$ 的长度是多少？

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3、“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若A，B，C是 $△ A B C$ 的三个内角，则对任意实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，有： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 2 x y \cos C + 2 x z \cos B + 2 y z \cos A$ ，不等式的取等条件为：存在实数k，使得 $x = k \sin A$ ， $y = k \sin B$ ， $z = k \sin C$ ．根据以上材料，在 $△ A B C$ 中， $2 \cos A + \cos C + \cos B$ 的最大值为．此时， $\cos A =$ ．

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4、若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 2, x \leq 2, \\ \log_{a} (x^{2} - a x), x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数a的取值范围为．

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5、已知某圆台的体积为 $19 π$ ，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为 $10 π$ ，则该圆台的高为

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6、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点A是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为1和2．点B是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线 $l_{1}$ 于点C，点G满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则（）

A、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ B、 $△ G A B$ 面积的最小值是 $\frac{2}{3}$ C、 $|\vec{A G}| \geq 1$ D、 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 存在最小值

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7、下列说法正确的是（）

A、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B D_{1}$ 与 $B_{1} C$ 是异面直线 C、用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，其三边所在直线分别和 $α$ 交于 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，则 $P$ ， $Q$ ， $R$ 一定共线

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8、设复数 $z$ 在复平面内对应的点为Z，原点为O， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若点Z的坐标为 $(- 3, 2)$ ，且 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$ C、 $z - \bar{z}$ 为纯虚数 D、若 $1 \leq |z - 2 i| \leq \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $π$

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9、已知函数 $f (x) = a \sin ω x + b \cos ω x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ， $ω > 0$ ）在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{6}) = - f (\frac{π}{2}) = - f (\frac{2 π}{3})$ ，则不等式 $f (x) + a > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π) (k \in Z)$ B、 $(- \frac{π}{12} + k π, \frac{π}{4} + k π) (k \in Z)$ C、 $(- \frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π) (k \in Z)$ D、 $(k π, \frac{π}{6} + k π) (k \in Z)$

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10、已知实数 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - |\log_{2} (x - 1)|$ 的两个零点，则下列结论正确的是( )

A、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \in (0, + \infty)$ B、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (0, 1)$ C、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ D、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (1, + \infty)$

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11、已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心为 $O$ ，若球 $O$ 的球面与该正方体的棱有公共点，则球 $O$ 的表面积的取值范围是（）

A、 $[3 π, 6 π]$ B、 $[3 π, 9 π]$ C、 $[6 π, 9 π]$ D、 $[6 π, 12 π]$

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12、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ B、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}]$ C、 $f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ D、 $f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3)$

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13、函数 $f (x)= \frac{x^{3}}{2^{x} + 2^{− x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、若平面向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 3 x - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、1或 $- \frac{2}{3}$ D、1或 $\frac{1}{5}$

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15、若复数z满足 $(- 1 + i) z = 1 + 2 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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16、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c < 0$ 的解集为 $\{x |x < 3\}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{3}\}$

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17、锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = \sqrt{3}$ 且 $2 c = 2 a cos B + b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 周长的取值范围；

(3)、求三角形 $A B C$ 面积的最大值.

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18、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.

(1)、已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 $0.8$ ；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；

(2)、已知当前每次测试成功的概率为 $0.7$ ，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线斜率为4，且在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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20、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - a$ ，若函数 $f (x)$ 有2个零点，则a的取值范围.

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