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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + {(sin x + cos x)}^{2}$ $.$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最值．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求边 $B C$ 的长.

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3、函数 $y = 3 cos x - 4 sin x$ 的最大值为.

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4、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为；

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5、已知扇形的面积为 $4 {cm}^{2}$ ，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为 $cm$ .

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

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7、下列函数中既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = - 2 x$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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8、设函数 $f (x)$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的减函数，若 $m \in R$ ，则（）

A、 $f (m) > f (2 m)$ B、 $f (m^{2}) > f (m)$ C、 $f (m^{2} + 1) < f (m)$ D、 $f (m^{2} + 1) > f (m)$

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9、若向量 $\vec{a} = (1, 5), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ （）

A、30 B、31 C、32 D、33

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10、在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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11、已知集合 $A = \{x | 0 < x < 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 0 < x < 2\}$ B、 $\{x | 1 < x < 2\}$ C、 $\{x | x > 0\}$ D、 $\{x | x > 1\}$

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12、已知 $M_{1} (x_{1}, 1)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，以点 $M_{1}$ 为圆心，1为半径的圆过 $C$ 的焦点 $F$ .按如下方式依次构造点. $M_{n} (x_{n}, y_{n}) (n = 2, 3, \dots) :$ 过点 $M_{n - 1}$ 作斜率为 $k (k < 0)$ 的直线与C交于另一点 $N_{n - 1} ，$ 点 $M_{n}$ 为 $N_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、令 $y_{1} = 1 ，$ 证明 ${y_{n}}$ 是等差数列，并求其通项公式；

(3)、设 $S_{n}$ 是 $△ M_{n} M_{n + 1} M_{n + 2}$ 的面积，求证： $S_{n} = S_{n + 1} .$

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13、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $P D$ 的中点为 $E$ 且 $A E ⊥ P C$ ， $P A = 4$ .若 $Q$ 为平面 $A B C D$ 上的一点，且 $Q B + Q D = 2 \sqrt{11}$ ，求 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值的最小值.

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14、某 $4 S$ 店将 $2024$ 年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取 $1$ 人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为 $\frac{1}{5}$ .

购买燃油车
购买新能源车
男性车主
$1.5 x$
$1300$
女性车主
$x$
$700$

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关?

(3)、为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 $10$ 人，再从这 $10$ 人中随机抽取 $2$ 人赠送礼品，记这 $2$ 人中女性车主的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列以及 $E (ξ)$ .
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
参考数据：
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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15、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为△ABC的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $c \cos A + \sqrt{3} c \sin A = b + a .$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 4 ，$ 求△ABC的内切圆面积最大值.

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16、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - \frac{2 a}{x} + 1 .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $x f (x) \geq 3 (x - a)$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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17、将若干块下图所示的由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法；若恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法.

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ，且 $f (2 θ - x) + f (x) = 0$ ，若 $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\cos φ = \frac{1}{4}$ ，则 $\tan 2 θ =$ .

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19、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > 0)$ 与动圆. $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(2, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60 °$

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20、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A B}$ 的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 $60 ° ，$ 动点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上，则（）

A、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ B、直线BD与直线AP所成角为90° C、平面 $B D D_{1} B_{1}$ 与平面ABCD的夹角为60° D、多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} - B C D$ 的外接球体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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	购买燃油车	购买新能源车
男性车主	$1.5 x$	$1300$
女性车主	$x$	$700$

$α$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$6.635$	$10.828$