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相关试卷

1、已知 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β) = \frac{\cos β}{\cos α}$ ，则（）

A、 $cos (α - β) = - 1$ B、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = 0$ D、 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$

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2、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在正四面体表面上运动，并且总保持 $P E ⊥ B C$ ，则动点 $P$ 的轨迹周长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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3、已知函数 $f (x + 1) - 1$ 是奇函数，则 $f (0) + f (2) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $4 c^{2} + b^{2} = 4 a b \sin C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（）

A、10.5 B、10.45 C、10.4 D、10.25

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6、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $x \vec{a} - 9 \vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、6 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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7、已知 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z - 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8、已知集合 $A = \{x | \log_{2} (x - 2) \leq 1\}$ ， $B = \{x | 2 x - a \leq 0\}$ ，且 $A \cap B = \{x |2 < x \leq 3\}$ ，则 $a =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2}$ $= a^{2}$ 相切于点 $M$ ，且直线 $l$ 与双曲线 $E$ 及其渐近线在第二象限的交点分别为 $P, Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $O M$ 是 $E$ 的一条渐近线 B、若 $|M F_{1}| = 3 |O M|$ ，则 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ C、若 $|Q F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ D、若 $|P F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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10、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4, A A_{1} = 6$ ， E，F分别是棱 $A D, A A_{1}$ 的中点，点G在棱 $D D_{1}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、存在点G，使得 $E F ⊥ B G$ B、点B到平面CEF的距离是 $\frac{24 \sqrt{61}}{61}$ C、存在点G，使得 $B G ⊥$ 平面CEF D、过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 $\frac{625 π}{41}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $A D = 3, B D = \sqrt{19}$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、6

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12、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \cdot \cdot \cdot + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， ……， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …….已知 $f (x) = ln (x + 1)$ ， $g (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{6 + 4 x}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[2, 1]$ 阶帕德近似为函数 $g (x)$ ，求实数 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $c = 0$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x = 0$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知 $O$ 为坐标原点，点 $M$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同的三点，其中 $M (2, 2)$ ，点 $A$ 在第一象限，直线 $A B$ 与 $O M$ 平行，直线 $A O$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ，直线 $A M$ 与直线 $O B$ 交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程；

(2)、求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、求 $\frac{| B P |}{| B Q |}$ 的最小值．

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14、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上， $M N / / A B / / A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证：平面 $A B N M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N M$ ；

(2)、求平面 $A B N M$ 与平面 $A M B_{1}$ 所成锐二面角的正弦值．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对于任意的 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $x^{2} f (x) \leq a x - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
参考数据： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} a_{4} = a_{2}^{2}$ ， $a_{1} + a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + \frac{m}{2})}^{2} = 3 + \frac{m^{2}}{4}$ ，两圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B C_{2}$ 面积的最小值为．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{3} =$ ．

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19、函数 $f (x) = sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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20、已知双曲线 $E : 4 x^{2} - y^{2} = n^{2} (n \in N^{*})$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ ，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ （从左到右），则下列说法正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时，其中一条渐近线方程为 $y = 2 x$ B、存在 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $C F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ C、任意 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $D F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ D、任意 $n \in N^{*}$ ，无论直线 $l$ 怎么运动， $|A B| = |C D|$

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