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相关试卷

1、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 是 $x = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、复数 $z = - 2 i (- 2 + i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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3、已知 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 6$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (1) > 0$

(2)、若不等式 $f (x) > b$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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4、已知 $\frac{z - 3}{i} = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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5、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点， $C$ 为短轴的一个端点， $△ F_{1} F_{2} C$ 是直角三角形.

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、若直线 $y = x - 3$ 恰好与椭圆 $E$ 相切，求椭圆 $E$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，设直线 $l$ 不过点 $A (2, 1)$ 且与 $E$ 交于两点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 0$ ，求 $\frac{| \vec{A M} | | \vec{A N} |}{| \vec{A M} - \vec{A N} |}$ 的最大值.

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6、从 $0, 1, 2, 3, 4$ 这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（）

A、24 B、36 C、48 D、60

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7、已知 $M (0, \sqrt{2})$ 和 $N (\sqrt{3}, 1)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点H在椭圆C上， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C的两焦点，且 $∠ F_{1} H F_{2} = 120 °$ ，求 $△ F_{1} H F_{2}$ 的面积；

(3)、过点 $P (\sqrt{3}, 0)$ 的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明： $\frac{1}{| P A |^{2}} + \frac{1}{| P B |^{2}}$ 为定值．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a}{x} (a \in R)$ .
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - y - 1 = 0$ 平行，求 $a$ 的值；
（2）在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（3）当 $a = 1$ ，且 $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) \leq 1$ .

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为等腰直角三角形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， E，F分别为CD，PD的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ .
（1）求过点 $M (3, 2)$ 的圆的切线方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $N (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 且被圆C截得的弦长为 $m$ ，求 $m$ 的范围.

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11、M、N分别为曲线 $y = e^{x} + 2 x$ 与直线 $y = 3 x - 1$ 上的点，则 $|M N|$ 的最小值为.

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - 2 n^{2} + 2024$ ，则 $a_{5} =$ ．

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13、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点， $P (m, n)$ 是 $C$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是4 B、 $|P F|$ 的最大值是2 C、 $△ O F P$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点 D、直线 $x + y + t = 0$ 与椭圆 $C$ 相切时， $t = \pm \sqrt{7}$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} + (a^{2} - 3) x + 2$ 在 $x = 1$ 处有极值，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{16}{3}$ C、 $f (x)$ 有三个零点 D、 $f (a) < f (a + 1)$

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15、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 11$ ， $a_{5} = 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 15 - 2 n$ B、－11是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 C、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = - n^{2} + 12 n$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 的前7项和最大

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16、在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线 $F_{2} P$ 和反射光线 $P E$ 互相垂直时（其中 $P$ 为入射点）， $cos ∠ F_{1} F_{2} P$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{4}$

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17、圆心在 $x$ 轴上，且过点 $(- 1, - 3)$ 的圆与 $y$ 轴相切，则该圆的方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 10 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 10 x = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 10 x = 0$

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18、直线 $a, b$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，平面 $α, β$ 的法向量分别为 $\vec{m}, \vec{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $a$ ∥ $b$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若 $b$ ∥β，则 $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ C、若 $a$ ⊥ $α$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{m} = 0$ D、若 $α$ ∥β，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

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19、“ $4 < k < 6$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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20、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ 和 $y$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，我们就称这个函数是“优美的”．

(1)、若函数 $f (x)$ 是优美的，求 $f (0)$ ；

(2)、写出一个优美的函数 $f (x)$ ，使得 $f (2) = 6$ ，并说明 $f (x)$ 为什么是优美的；

(3)、对于任意优美的函数 $f (x)$ ，证明：对任意的有理数，都有 $f (x) = x f (1)$ ．

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