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相关试卷

1、若集合 $A = \{0, 1\}$ ， $B = \{x |0 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{0\}$ D、 $\{1\}$

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2、已知集合 $A = \{x |a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a\}, B = \{x |- 2 \leq x \leq 4\}$ .

(1)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、给出下列关系：① $|- 2| \notin N^{*}$ ；② $0 \notin Z$ ；③ $\sqrt{2} \in Q$ ；④ $- \frac{3}{2} \in R$ ，其中错误的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、直线 $l_{1} : 2 x - (a + 1) y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : a x - y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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5、某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在 $[50, 150]$ 内，将所得的数据分成4组： $[50, 75), [75, 100), [100, 125), [125, 150],$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求a的值以及自习时间在 $[100, 150]$ 内的学生人数；

(2)、估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)、从 $[100, 125)$ 和 $[125, 150]$ 用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在 $[125, 150]$ 内的概率.

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6、已知圆台上、下底面面积分别是 $π$ 、 $9 π$ ，其侧面积是 $12π$ ，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{13 \sqrt{5}}{3} π$ B、 $\frac{13 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $4 \sqrt{5} π$ D、 $13 \sqrt{3} π$

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D ⊥ D C_{1}$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2 \sqrt{2}, A B ⊥ A C$ ，二面角 $C - A C_{1} - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ．
①求 $A C$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；
②点 $E$ 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内，且三棱锥 $E - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求 $E$ 的轨迹的长度．

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8、已知命题 $p$ ： $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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9、已知 $α \in (0, π)$ ，且 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{2 π}{3} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10、已知两条直线 $l_{1} : a x + y - a - 2 = 0, l_{2} : 2 x - a^{2} y + 2 a^{2} - 2 = 0 (a \geq 1)$ ，

(1)、若直线 $l_{1}$ 与两坐标轴分别交于 $A 、 B$ 两点，又 $l_{1}$ 过定点 $P$ ，当 $a$ 为何值时， ${|A P|}^{2} + {|B P|}^{2}$ 有最小值，并求此时 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $a \geq 2$ ，设 $l_{1} 、 l_{2}$ 与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积 $S$ 的最大值；

(3)、设 $a = 1$ ，直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $l_{1} 、 l_{2}$ 的交点为 $P$ ，如图现因三角形 $O P A$ 中的阴影部分受到损坏，经过点 $Q (1, 1)$ 的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线 $M N$ 的斜率 $k \leq 0$ ，求保留部分三角形面积的取值范围．

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11、函数 $g (x) = x^{2} - m x + n$ ，关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 4$ 的解集为 $(- 1, 3)$ .
（Ⅰ）求 $m$ 、 $n$ 的值；
（Ⅱ）设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .
（i）若不等式 $f (\log_{3} x) - \frac{5}{9} k \cdot \log_{3} x + \frac{2}{3} \geq 0$ 在 $x \in [3, 9]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（ii）若函数 $h (x) = (|e^{x} - 1|) \cdot f (|e^{x} - 1|) - 3 k (|e^{x} - 1|) + 2 k$ 有三个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围（ $e$ 为自然对数的底数）.

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12、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C, ∠ B A C = 90 °$ .点D，E，N分别为棱 $P A, P C, B C$ 的中点，M是线段 $A D$ 的中点， $P A = A C = 8$ ， $A B = 4$ .
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $B D E$ ；
（Ⅱ）求二面角 $C - E M - B$ 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱 $P A$ 上，且直线 $N H$ 与直线 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ ，求线段 $A H$ 的长.

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13、已知 $\overset{⃑}{a} = (\sqrt{3} \cos^{2} x, \sin x)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \cos x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ .
（1）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；
（2）已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ， $b + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为 $0.19$ ．

(1)、求x的值；

(2)、现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？

(3)、已知 $y \geq 245$ ， $z \geq 245$ 求九年级中女生比男生少的概率．

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15、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 $60 °$ ．记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求 $\vec{B D_{1}}$ 的长；

(2)、求 $\vec{B D_{1}}$ 与 $\vec{A C}$ 夹角的余弦值．

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16、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、当点P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，一定有 $C_{1} P ⊥ B D_{1}$ B、当点P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $B_{1} - A C P$ 的体积不变 C、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ D、以点B为球心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的球面与平面 $A B_{1} C$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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17、若函数 $f (x) = 2 e^{x}$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{1}{x} + 5$ 的图象交点的横坐标所在的区间为 $(k, k + 1)$ ，则 $k$ 的可能取值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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18、19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数 $n (n \in N^{*})$ 开头的数出现的概率 $P (n)$ 满足 $1 - P (n) = \lg \frac{10 n}{n + 1}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若 $\sum_{n = 1}^{k} P (n) \leq \frac{\log_{2} 3 \times \log_{3} 5}{1 + \log_{2} 5} (k \in N^{*})$ ，则 $k$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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19、如图，将菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角， $E, F$ 分别为 $A D, B C$ 的中点， $O$ 是 $A C$ 的中点， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则折后二面角 $E - O F - A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{11}}{11}$

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20、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 为空间内三个不共面的向量，平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{3}}$ 和 $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} + μ \vec{e_{3}}$ ，若 $α / / β$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、5 B、 $- 5$ C、3 D、 $- 3$

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	七年级	八年级	九年级
女生	373	x	y
男生	377	370	z