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相关试卷

1、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $M, N$ 分别是线段 $D A_{1}$ 、 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，若 $M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，则线段 $M N$ 长的最小值为（　　）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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2、如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 $45 °$ 方向，距离 $20 \sqrt{2}$ 海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北 $θ (0 ° < θ < 45 °)$ 方向的C处，且 $cos θ = \frac{4}{5} .$ 已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（）

A、 $4 \sqrt{85}$ 海里/小时 B、 $3 \sqrt{85}$ 海里/小时 C、 $2 \sqrt{7}$ 海里/小时 D、 $4 \sqrt{6}$ 海里/小时

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3、如图所示，三棱柱ABC－A^'B^'C^'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC^'B^'F将三棱柱分成体积为V₁(棱台AEF－A^'C^'B^'的体积)，V₂的两部分，那么 $V_{1} : V_{2} =$ （　　）

A、6︰5 B、7︰5 C、8︰3 D、4︰3

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 3$ D、3

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5、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 5 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $1$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a cos A + a sin A = b cos B + b sin B$ ，且 $a \neq b .$

(1)、求 $C;$

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 边的中点，且 $A B = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、在菱形ABCD中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， E，F分别为AD，CD的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{B F} =$ .

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8、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $P$ 为直线 $l : x = m y - 2$ 与 $y$ 轴的交点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 与 $M P$ 交于点 $C$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，则 $m = \pm \sqrt{15}$ B、 $m = 1$ 时，四边形 $P A M B$ 的面积为 $\sqrt{6}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、已知点 $Q (\frac{7}{4} ， 0)$ ，则 $|C Q|$ 为定值 $\frac{1}{4}$

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9、设函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有3个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有1个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增 D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{5}, \frac{π}{2})$ 单调递减，则 $ω$ 的最小值为2

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10、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ，对于 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，满足 $f (x) \cdot f (2 x) = \frac{9}{8}$ ，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2}$ .若函数 $y = f (f (x)) + a^{2} - 1 (a > 0)$ 恰有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6}]$ D、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6})$

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12、在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A = B C = \sqrt{3}$ ， $P C = A B = \sqrt{5}$ ， $P B = A C = \sqrt{6}$ ，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ，若 $|A F_{1}| = \sqrt{3} |A F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知 $a > b > c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $a - c \geq 2 \sqrt{(a - b) (b - c)}$

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15、设集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若存在实数 $R > 0$ ，使得点 $(a_{n}, S_{n})$ 位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为 $R$ 的圆内（含边界），则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”.

(1)、设数列 $\{a_{n}\}$ 是首项与公比均为 $- 1$ 的等比数列，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”.

(2)、若各项均为非负整数的数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中非零的项数不超过 $R$ .

(3)、设随机变量 $X_{n}$ 等可能地取 $- 1, 0, 1 (n = 1, 2, \dots)$ ，且不同的 $X_{n}$ 的取值是相互独立的.对于正整数 $m$ ，定义数列 $\{A_{m}\}$ ：前 $m$ 项为 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ ，从第 $m + 1$ 项起各项均为0.记数列 $\{A_{m}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”的概率为 $p_{m}$ ，证明：对任意正整数 $m, p_{m} \geq {(\frac{2}{3})}^{m - 1}$ .

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17、已知函数 $f (x) = a^{2} e^{x} - 3 a x + 2 sin x, a \neq 0$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > \sqrt{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $a \in [1, + \infty)$ 时， $f (x) \geq cos x$ .

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18、已知抛物线 $E : y^{2} = a x (a > 0), P$ 为 $E$ 上一动点，且点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 之间的最小距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、连接 $P, A$ 并延长交抛物线 $E$ 于另一点 $Q$ ，若 $|P Q| = 2 |O Q|$ （ $O$ 是原点），求点 $P$ 的横坐标.

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 b, c = 3, cos A = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $cos (C - B)$ 的值.

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} E ⊥ B_{1} D_{1}$ .

(2)、求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值.

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