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相关试卷

1、化简： $\overset{⃑}{A C} - \overset{⃑}{B D} - \overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{C D} - \overset{⃑}{A B} =$ （）

A、 $\overset{⃑}{A D}$ B、 $\overset{⃑}{D A}$ C、 $\overset{⃑}{B C}$ D、 $\overset{⃑}{C B}$

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2、已知 $f (α) = \frac{\sin (3 π - α) \tan (π + α) \sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (α - \frac{π}{2}) \tan (3 π - α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α \in (0, π) ， f (α) = - \frac{4}{5},$ 求 $\frac{1 + \cos 2 α}{\sin 2 α}$ 的值.

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3、化简：

(1)、 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β)$

(2)、 $\frac{2 \cos^{4} x - 2 \cos^{2} x + \frac{1}{2}}{2 \tan (\frac{π}{4} - x) \sin^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

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4、计算

(1)、 $(7 - 6 i) (- 3 i)$

(2)、 $(3 + 4 i) (- 2 - 3 i)$

(3)、 $(1 + 2 i) (3 - 4 i) (- 2 - i)$

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5、化简下列各向量的表达式：

(1)、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D}$ ；

(2)、 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D})$ ；

(3)、 $(\vec{A C} + \vec{B O} + \vec{O A}) - (\vec{D C} - \vec{D O} - \vec{O B})$ ；

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6、为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得： $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ C B A = 105 °$ ， $A B = 60 m$ ，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为m；

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 方向相反，且 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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8、已知向量 $\vec{O A} = (- 1, 2), \vec{O B} = (8, m)$ ，若 $\vec{O A} ⊥ \vec{A B}$ ，则 $m =$ .

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9、 $\cos α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，则 $\sin \frac{α}{2} =$ ．

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10、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，∠ $B A C$ ， ∠ $A B C$ ， ∠ $A C B$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 4 : 3 : 2$ B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，且 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，且 $5 \vec{O A} + 12 \vec{O B} + 13 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ A C B = \frac{π}{2}$

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11、下列是函数 $f (x) = 1 - s i n 2 x t a n x$ 图象的对称轴方程的是（）

A、 $x = \frac{3 π}{4}$ B、 $x = \frac{3 π}{2}$ C、 $x = 3 π$ D、 $x = \frac{7 π}{4}$

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12、下列各组向量中，能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (1, 2), \vec{e_{2}} = (- 2, 1)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 3, 4), \vec{e_{2}} = (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, 6), \vec{e_{2}} = (- 1, 3)$

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13、中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于 $A, B, C, D$ 四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点 $C_{1}$ ，则 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C_{1}}$ 的值可能为（）

A、 $- 10$ B、 $- 12$ C、 $- 11$ D、 $- 14$

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14、已知圆 $C$ 的半径为 $2$ ，点 $A$ 满足 $| \overset{⃑}{A C} | = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $C$ 上两个动点，且 $| \overset{⃑}{E F} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⃑}{A E} \cdot \overset{⃑}{A F}$ 的取值范围是（）

A、 $[4 ， 16]$ B、 $[2 ， 6]$ C、 $[6 ， 22]$ D、 $[1 ， 13]$

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15、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ，且 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{2 π}{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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16、下列命题正确的是（）．

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B A}$ 是两平行向量 C、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点构成平行四边形 D、两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同

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17、下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (1, 2), \vec{e_{2}} = (- 1, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (2, 3), \vec{e_{2}} = (4, 6)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1, 3), \vec{e_{2}} = (2, - 1)$

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18、已知 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (m, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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19、若 $A (2, - 1)$ ， $B (- 1, 3)$ ，则 $\overset{⃑}{A B}$ 的坐标是

A、（1，2） B、（-3，4） C、（3，-4） D、以上都不对

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20、定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ $M -$ 数列”.

(1)、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5}, a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{1} = 0$ .求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $M -$ 数列”；

(2)、已知各项为正数的数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{1} = 1, S_{n} = \frac{b_{n} b_{n + 1}}{2 (b_{n + 1} - b_{n})}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
②已知 $\{c_{n}\}$ 是“ $M -$ 数列”，且对任意正整数k，都有 $b_{k} \leq c_{k + 1}$ 成立，求数列 $\{c_{n}\}$ 公比的取值范围.

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