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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x} - k ， x < 0 ， \\ ln x + 1 - k ， x > 0 ． \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x - 1$ 恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数 $k$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、某电子产品的电池健康度 $E$ 随循环次数 $n$ 衰减的函数模型为 $E (n) = A e^{- k n} + 30$ ，其中 $A, k$ 为常数， $A > 0, k > 0, n \in Ν$ ．已知 $E (0) = 100, E (100) = 80$ ，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（）
（参考数据： $ln 3 \approx 1.10, ln 5 \approx 1.61, ln 7 \approx 1.95$ ）

A、120 B、150 C、170 D、180

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3、某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $8 π$

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4、设 $m \in R$ ，则“ $sin m = 0$ ”是“函数 $y = cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = m$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $\vec{C N} = \frac{1}{4} \vec{C A}$ ， $\vec{M N} = k_{1} \vec{A B} + k_{2} \vec{A C} (k_{1} ， k_{2} \in R)$ ，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

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6、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与直线 $4 x + a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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7、在 ${(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，各项系数的最大值是（）

A、6 B、15 C、20 D、35

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8、已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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9、已知集合 $M = {x ∣ x > 0}$ ，集合 $N = {x ∣ x^{2} < 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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10、已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} - a x$ ．

(1)、函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若直线 $e^{3} x - y - 3 e^{3} = 0$ 为函数 $f (x)$ 的一条切线，求 $a$ 的值；

(3)、函数 $g (x) = f (x) + a x - ln a x$ ，若对任意 $x > 0$ ， $g (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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11、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $E$ 为 $O F$ 中点， $O$ 为坐标原点， $A E = \sqrt{5}$ ，椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限．

(1)、求椭圆方程；

(2)、若 $∠ P A F = ∠ E A F$ ，求 $y_{0}$ ；

(3)、若直线 $y = \frac{- x_{0}}{2 y_{0}} x$ 与椭圆交于点 $M 、 N$ ，点 $N$ 在点 $M$ 右侧， $Q$ 为线段 $O N$ 上一点， $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，证明 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为各项不为零的等比数列，公比为2， $n \in N^{*}$ ， $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 $\{k | b_{k} = a_{m} + a_{1}, 1 \leq m \leq 500\}$ 中元素的个数；

(3)、当 $a_{1} = 1$ 时，将数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入一个数 $a_{n} b_{n}$ ，构造新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $c_{1} = a_{1}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{1}$ ， $c_{3} = a_{2}$ ， $c_{4} = a_{2} b_{2}$ ， …，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ 及满足 $S_{2 n} > 2026$ 的最小正整数 $n$ ．

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13、“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱 $A B B_{1} A_{1} - D C C_{1} D_{1}$ ，如图2，底面 $A B B_{1} A_{1}$ 为直角梯形， $A B ∥ A_{1} B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = B C = B B_{1} = 4$ ， $F$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 在 $A B$ 上且 $B E = 3 E A$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、求四面体 $F E B_{1} D_{1}$ 的体积．

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14、已知正三角形 $A B C$ ，边长为3，点 $D 、 E$ 在边 $A B$ 上（如图）， $A D = 1$ ， $∠ A C D = ∠ D C E = θ$ ．

(1)、求 $C D$ 的长， $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $sin (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、求 $D E$ 的长．

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15、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + a$ ，若对于任意 $x \in [a, 2 a]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16、已知正四棱锥 $P - A B C D$ ， $P B 、 P D$ 的中点分别为 $E 、 F$ ，点 $G$ 为 $P C$ 上一动点，平面 $E F G$ 将正四棱锥分为两个部分，当 $G$ 为 $P C$ 中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当 $P G = \frac{1}{3} P C$ 时，体积较小部分与体积较大部分的比值为．

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17、立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为．

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方， $|P F| = 5$ ， O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为．

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19、 ${(9 x - \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字表示）

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ ．

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