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相关试卷

1、随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数 $y$ 与一定范围内的温度 $x$ 有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期
2日
7日
15日
22日
30日
温度 $x /^{\circ} C$
10
11
13
12
8
产卵数 $y$ /个
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为 $m$ ， $n$ ，求事件“ $m$ ， $n$ 均不小于25”的概率；
（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；
（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \cdot \bar{x}$ .

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2、已知向量 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么m的值为．

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3、若函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 中心对称，则 $φ =$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} x, x > 1 \\ (2 a - 1) x + 4 a, x \leq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上为减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{6}]$ C、 $[\frac{1}{6}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$

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5、若集合 $A = \{x |ln x > 1, x \in N^{*}\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 6 x - 7 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、16 B、15 C、32 D、31

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 n + 4$ ，且 $a_{1} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $f (x) = a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n}, n \in N^{*}$ ，讨论 $f^{'} (1)$ 与 $\frac{8 n^{2} + 11 n - 3}{4}$ 的大小关系；

(3)、对任意正整数 $n \in N^{*}, (1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) \dots (1 + \frac{1}{a_{n}}) < m$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最小值．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $E (1, \frac{3}{2})$ ，右焦点为 $F, D$ 为上顶点，以点 $D$ 为圆心且过 $F$ 的圆恰好与直线 $x = - 2$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、过 $(4, 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(3)、点 $M, N$ 在 $C$ 上，且 $E Q ⊥ M N, Q$ 为垂足， $|E M| \cdot |E N| = |M N| \cdot |E Q|$ ，求 $|E Q|$ 的最大值．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ A B, P B = P D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}, \vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，求二面角 $B - A Q - C$ 夹角的余弦值．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b {sin}^{2} \frac{A}{2} + c = 2 b$

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $A D = 3$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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10、2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风䨾世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下 $2 \times 2$ 列联表．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
30
70
100
合计
90
110
200

(1)、判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为喜爱足球运动与性别有关；

(2)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为 $X$ ，求事件 $X$ 的分布列和数学期望；
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．

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11、若关于 $α$ 的方程 $\frac{\cos 2 α + 1 + m \sin 2 α}{m \cos 2 α + m - \sin 2 α} = \frac{\sin^{3} α}{\cos^{3} α}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $m =$ ．

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025}$ ．

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13、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, δ^{2})$ ，且 $P (η < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) =$ ．

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14、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4) + m$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ （）

A、若 $f (x)$ 有三个零点，则 $0 < m < 4$ B、 $f^{'} (4 - x) = f^{'} (x)$ C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、当 $x \geq 0, f (x) \geq 0$ 时，则 $m \geq 4$

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15、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $z_{1} = i$ B、 $\forall z_{1}, z_{z} \in C, |z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ C、 $z_{1} - z_{2} > 0$ 是 $z_{1} > z_{2}$ 的充要条件 D、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}, z_{2}$ 中至少有一个为0

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16、已知对任意的 $a$ ， $b \in R$ 都有 $(b - a) e^{b - a} \geq b e^{- b} - λ a$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、0 D、 $- e$

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, △ P A B$ 为等腰三角形，且 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, A C = 4, ∠ B A C = 90^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $64 π$ C、 $80 π$ D、 $128 π$

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18、已知在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A (- 2, 1), B (- 2, 2)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一动点，且点 $Q$ 在直线 $x = - 2$ 上的投影为 $R$ ，则 $|P B| + \sqrt{2} |P Q| + \sqrt{2} |Q R|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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19、已知 $(1 + a x) {(2 - x)}^{4} (a \in R)$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为17．则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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20、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, \vec{b} = (2, 2), | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{51}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2})$

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日期	2日	7日	15日	22日	30日
温度 $x /^{\circ} C$	10	11	13	12	8
产卵数 $y$ /个	23	25	30	26	16

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	60	40	100
女性	30	70	100
合计	90	110	200

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828