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相关试卷

1、一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第 $4$ 轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为 $．$

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2、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过 $A$ 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 $M$ ，延长 $A M$ 交另一条渐近线于 $N$ ，若 $\vec{M N} = 2 \vec{A M}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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3、已知定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ ，设 $g (x) = f (1 - 2 x)$ ，则 $g^{'} (1) =$ $．$

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4、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，已知函数 $f (x) = \ln x - \sqrt{a x + b}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有唯一的极值点 B、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $a \in (0, \frac{2}{e})$
C、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} > 2$ D、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} < 2$

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5、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{15} < 0$ ， $\frac{a_{7}}{a_{8}} < - 1$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $|a_{7}| < |a_{8}|$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 7$ D、使 $S_{n} > 0$ 成立的最大整数 $n$ 为13

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6、已知某地社交媒体用户的日活跃时长 $X$ （单位：小时）服从正态分布 $N (2.4, {0.7}^{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = 2.4$ ， $D (X) = 0.7$ B、若 $P (X \leq 1) = P (X \geq b)$ ，则 $b = 3.8$ C、 $P (X \leq 0.3) + P (X \geq 4.5) < P (0.3 < X < 4.5)$ D、 $P (|X - 2| \leq 0.7) \geq P (|X - 3| \leq 0.7)$

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7、设函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a$ ，若存在实数 $b$ ，使得 $\{x| f (x) = b\} = \{x| f (f (x)) = b\} \neq \emptyset$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{13}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \sin |a x + \frac{π}{3}|, a > 0$ 在 $[- π, π]$ 上恰有 $5$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ B、 $[\frac{7}{3}, \frac{8}{3})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{10}{3})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{10}{3})$

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9、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{b}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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10、若 $A B < 0$ ， $B C < 0$ ，则直线 $A x - B y + C = 0$ 一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = \{m - 1, m\}$ ，且 $A \cap B$ 的元素个数为2，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(0, 2]$

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12、命题“ $\exists x \in (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$ ”的否定是（　　）

A、 $\forall x \notin (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$ B、 $\forall x \in (0, 2), 2 x - x^{2} < 1$ C、 $\exists x \in (0, 2), 2 x - x^{2} < 1$ D、 $\exists x \notin (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$

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13、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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14、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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17、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 4, x > 2 \end{array}$ ，若有不相等的实数 $a, b, c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是.

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18、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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19、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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20、（多选）下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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