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相关试卷

1、我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2.
规格
一号
二号
三号
四号
五号
尺寸（单位：cm）
288×192
240×160
192×128
144×96
96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的（）

A、周长构成等差数列 B、周长构成等比数列 C、面积构成等差数列 D、面积构成等比数列

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2、设 $f (x) = (a + b) \cos^{2} x + (a - b) \sin^{2} x$ ，若 $\{f (x) |x \in R\} = \{2\}$ ，则（）

A、 $a = 1$ 且 $b = 1$ B、 $a = 2$ 且 $b = 0$ C、 $a = 0$ 且 $b = 2$ D、 $a = 1$ 且 $b = - 1$

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3、若 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ （i为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4、数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）

A、3 B、5 C、6 D、7

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程.

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，证明：当 $x \leq 0$ 时， $f (x) \leq 0$ .

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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6、已知椭圆 $C$ 过点 $M (2, 1)$ ，两个焦点坐标分别为 $(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程．

(2)、已知 $A, B$ 为椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的两点，且直线 $M A, M B$ 与 $x$ 轴围成一个以 $M$ 为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线 $A B$ 的斜率为定值；
（ii）求 $△ M A B$ 面积的最大值．

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $F$ 是 $B C$ 中点， $P A = P D$ ， $P A ⊥ P D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .
（1）求证： $D F ⊥$ 平面 $P A D$ ；
（2）求二面角 $A - P B - F$ 的余弦值.

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8、记正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 2$ ，．
从① $S_{n} = \frac{n^{2} + 3 n}{2}$ ；② $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 2}{n + 1}$ ；③ $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = a_{n + 1} + a_{n}$ 这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} (a_{n} - 1)}\}$ 的前n项的和 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ ．

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9、如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁 $(m, n \in N^{*})$ ，它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下：
①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行；
②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落.
当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为 $f (m, n)$ .则 $f (1, 2) =$ ；若 $f (m, n) = 12$ ，写出满足条件的一组 $(m, n)$ 为.

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10、若 $3$ 是函数 $f (x) = (x - 2) (x - 3) (x - a)$ 的一个极值点，则 $f (0) =$ .

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11、已知 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为6，则（）

A、 $C_{n}^{2} > C_{n}^{3}$ B、展开式中各二项式系数之和为16 C、展开式中第4项为 $- 4 x$ D、展开式中不含常数项

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12、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x) < 2 x$ ，且 $f (5) = 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) + 4 x > 4 x^{2} - 21$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(\frac{1}{2}, 3)$

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13、某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到 $A$ 学校，则不同的安排方式有多少种（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、30种

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14、函数 $f (x) = x^{5} - \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + e^{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、 $2 e$ B、 $3 e$ C、 $- 2 - e$ D、 $2 + e$

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16、在 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、405 B、270 C、150 D、90

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17、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x + \frac{1}{x}$ D、 ${(\sin 3)}^{'} = \cos 3$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c (a cos B + b cos A) = 4$ ， $2 a sin B = 3 b sin C$ ， $b = 4$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $sin B$ 的值；

(3)、求 $cos (2 B + C)$ 的值．

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19、如图，某建筑物 $A C$ 顶部有一旗杆 $A B$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，小明在地面 $D$ 处观测旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的 $E$ 处，又测得旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，已知建筑物 $A C$ 高度为12米.

(1)、求点 $E$ 到建筑物 $A C$ 的距离；

(2)、求旗杆 $A B$ 的高度.

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cdot \cos ω x - \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ .
（1）求 $ω$ 的值.
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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规格	一号	二号	三号	四号	五号
尺寸（单位：cm）	288×192	240×160	192×128	144×96	96×64