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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，“ ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = sin (A + B)$ ”是“ $C$ 为直角”的（）

A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件 C、充要条件 D、既非充分条件也非必要条件

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2、设抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + |B F| = 7$ ，则 $cos ∠ A F B$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$

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3、已知两条相交直线 $a, b$ ， $a$ 在平面 $α$ 内， $b$ 在平面 $α$ 外．设 $a, b$ 的夹角为 $θ_{1}$ ，直线 $b$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{2} - θ_{1}$ ， $sin θ_{1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．则由 $a, b$ 确定的平面与平面 $α$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x e^{x}, x \leq 0 \\ l n x - x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、1 D、e

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5、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则 $|z|$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6、已知向量 $\vec{a} = (2 x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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7、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} < 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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8、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_{n}$ 恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ 的值；

(2)、求 $p_{n}$ 的值（用 $n$ 表示）；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ .

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9、随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：

年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30

45
不是微短剧消费者

合计
100

200

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？

(2)、记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = 132.71 x - 192.85$ ，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ， $x_{0.05} = 3.841$ .
$\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 442.03$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ . $\sqrt{10} = 3.16$ .
若 $|r| \geq 0.75$ ，则认为经验回归方程有价值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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10、现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，

(1)、在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；

(2)、求第二次取到2号球的概率；

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11、已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的所有系数之和为729．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{3}$ 的系数．

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12、2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．我市某学校的数学老师组织学生到“牛马司农产品基地”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，尹诗老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k $n = 4, k = 2$ ，则 $P =$ ．

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13、甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B ∣ A_{2}) = \frac{3}{11}$ B、 $P (B A_{1}) = \frac{6}{55}$ C、 $P (A_{3} ∣ B) = \frac{4}{11}$ D、 $P (B) = \frac{3}{10}$

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14、高二某班共有20名男生，30名女生，其中男生的平均身高是175cm，女生的平均身高是165cm，男生身高的方差是14，女生身高的方差是4，则下列说法正确的是（）

A、该班50名同学的平均身高是169cm B、50名同学身高的总方差是32 C、某小组共4个女生2个男生，则从中选出2名英语课代表的方法有30种 D、某小组共4个女生2个男生，则从中选出3同学，至少有一位男生的概率是 $\frac{3}{5}$

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15、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 2$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 120$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{8} + \frac{a_{4}}{16} + \frac{a_{5}}{32} = - 1$

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16、高三某班有 $\frac{1}{4}$ 的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出 $5$ 名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数 $X ~ B (5, \frac{1}{4})$ ，则 $P (ξ = k) = C_{5}^{k} (\frac{1}{4})^{k} (\frac{3}{4})^{5 - k}$ 取最大值时 $k$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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17、数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件 $A =$ “两次掷出的点数之和是6”，事件 $B =$ “第一次掷出的点数是奇数”，事件 $C =$ “两次掷出的点数相同”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{6}$ B、A与 $B$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、A与 $C$ 相互独立

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18、某水文站为了研究所在河段 $24 h$ 降雨量 $x$ （单位： $cm$ ）与水位增长量 $y$ （单位： $cm$ ）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉 $A$ 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A、决定系数 $R^{2}$ 变小 B、相关系数 $r$ 的值变小 C、残差平方和变小 D、解释变量 $x$ 与预报变量 $y$ 相关性变弱

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19、260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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20、邱老师带着班上同学去野外烧烤，现要将4名学生分配到3个烧烤点，每哥烧烤点至少分配 $1$ 名学生，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

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	年龄不超过40岁	年龄超过40岁	合计
是微短剧消费者	30		45
不是微短剧消费者
合计	100		200

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	9.4	36.8	101.7	373.9	m

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828