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相关试卷

1、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 上的动点，则（）

A、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 B、 $\vec{A A_{1}}$ 在 $\vec{A C_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A C_{1}}$ C、点 $B$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若直线 $D_{1} P$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : (m - 1) x^{2} + (3 - m) y^{2} = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $3 > m > 1$ ，则 $C$ 是椭圆 B、若 $2 > m > 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴的椭圆 C、若 $m < 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $y$ 轴的双曲线 D、若 $m = 3$ ，则 $C$ 是直线 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知 $Q$ 是椭圆 $M : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 上的动点：若动点 $Q$ 到定点 $P (2, 0)$ 的距离 $|P Q|$ 的最小值为1，则椭圆 $M$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1)$

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4、2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为 $L (w) = \sum_{i = 1}^{n} ln (w x_{i} + 1)$ ，其中 $w$ 是模型参数， $x_{i}$ 是输入特征，为了最大化 $L (w)$ ，我们需要求解以下哪个方程（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{w x_{i} + 1} = n$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{w x_{i} + 1} = 0$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{w}{w x_{i} + 1} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{w}{w x_{i} + 1} = n$

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5、三个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 则“ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面”是“ $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）

A、6 B、7 C、15 D、90

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7、如果函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为1，那么 $\lim_{x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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8、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、内含 B、内切 C、外离 D、相交

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的焦距为6，则 $m$ 为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、32

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ ： $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11、角谷猜想，也称为“ $3 n + 1$ ”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以 $2$ ；如果是奇数，则将它乘以 $3$ 再加上 $1$ ，如此反复运算，该数最终将变为 $1$ ；这就是对一个正整数运算时“万数归 $1$ ”现象的猜想，假如对任意正整数 $a_{0} (a_{0} \geq 2)$ ，按照上述规则实施第 $1$ 次运算后的结果记 $a_{1}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $a_{2}$ ， …实施第 $n - 1$ 次运算后的结果记为 $a_{n - 1}$ ，实施第 $n$ 次运算后得到数 $1$ ，则停止运算，即可以得到有穷数 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2} \dots a_{n - 1}, 1$ （其中 $a_{i} \neq 1, i = 1, 2 \dots, n - 1$ ）其递推关系式为 $a_{k + 1} = \{\begin{cases} 3 a_{k} + 1, a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2}, a_{k} 为偶数 \end{cases} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ ， $a_{0}$ 称作数列 $\{a_{n}\}$ 的原始项；将此递推公式推广为： $a_{k + 1} = \{\begin{cases} λ a_{k} + 1, a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2}, a_{k} 为偶数 \end{cases} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1, λ \in N^{*})$ ，其它规则不变，得到的数列记作 $\{λ ~ a_{n}\}$ ，试解答以下问题：

(1)、若 $a_{0} = 6$ ，求数列 $\{3 ~ a_{n}\}$ 的项数；

(2)、若数列 $\{3 ~ a_{n}\}$ 满足 $a_{6} = 1$ ，求原始项 $a_{0}$ 的所有可能取值构成的集合；

(3)、对任意的数列 $\{1 ~ a_{n}\}$ ，求证： $n \leq 2 \log_{2} a_{1} + 2$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a \ln x (a > 0$ 且 $a \neq 2)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，证明： $f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{7}{2} x \leq x e^{x + 1} - 2$ ．

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + b (a, b \in R)$ 的图象过点 $(2, - 4)$ ，且 $f^{'} (2) = 0$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [- 1, 3]$ 上的值域．

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率的乘积为1，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、双曲线C的离心率为2 C、直线 $A B$ 倾斜角的取值范围为 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积为2

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15、下列说法正确的有（）

A、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则 $3 a - 2$ 、 $3 b - 2$ 、 $3 c - 2$ 成等差数列 B、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则 $2^{a}$ 、 $2^{b}$ 、 $2^{c}$ 成等比数列 C、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，则 $\ln a$ 、 $\ln b$ 、 $\ln c$ 成等差数列 D、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，则 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $c^{2}$ 成等比数列

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16、某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 $10$ 级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用 $7$ 步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（）种不同上法．

A、 $7$ B、 $35$ C、 $70$ D、 $128$

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17、已知直线 $l : a x + b y - r^{2} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，点 $A (a, b)$ ，则下列说法错误的是（）

A、若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 B、若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 C、若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

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18、已知函数 $f (x) = a ln \frac{x}{e} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + a = 0$ 有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{n a_{n - 1} + 1}{n + 1}$ ．

(1)、证明数列 $\{(n + 1) a_{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{a_{2}}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{a_{2}} + \dots \dots + \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < n + \frac{3}{4}$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，侧面 $P C D$ 是等边三角形，三棱锥 $A - P B D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $E$ 是棱 $C P$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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