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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 3)$ ，则函数 $g (x) = f (x - 3) + \sqrt{5 - x}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(- 5, 1)$ C、 $(1, 5)$ D、 $(1, 5]$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - 2 x + 1, x < 0 ， \\ 2^{x}, x > 0 ， \end{cases}$ 那么 $f (f (- 1))$ 的值是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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3、已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = \{2, 3, 5\}, B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\emptyset$

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4、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + d (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．

(2)、根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）

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5、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2 k \cdot 3^{- x}$ 是 $R$ 上的奇函数，函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 2$ ．

(1)、求实数k的值；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时，函数 $g (x)$ 的最小值是关于a的函数 $m (a)$ ，求 $m (a)$ ；

(3)、若对任意的 $x \in [0, 1]$ ， $g (x) \geq 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并利用单调性的定义证明；

(3)、若 $f (2 a + 1) + f (2 - a^{2}) > 0$ ，求a的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 x - 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域：

(2)、解不等式 $f (x) > 1$ ．

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8、求下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(- 2020)}^{0}$ ；

(2)、 ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 4 - \log_{3} 4 \times \log_{2} 3$ ；

(3)、若 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 的值．

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9、设奇函数 $f (x)$ 在（0， $+ \infty$ ）是增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] < 0$ 的解集为

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10、已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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11、已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - 1$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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12、下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $y = \frac{f (2 x)}{\sqrt{2^{x} - 1}}$ 的定义域为 $[0, 4]$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 2, & x \geq 0 \\ 2^{x}, & x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (f (x)) = \frac{1}{2}$ 有且仅有一根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{4}, 0)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$

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14、已知 $f (x) = \{\begin{cases} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a + 1, x \geq 1 \end{cases}$ ，在 $(- \infty, + \infty)$ 满足 $\forall x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x {}_{2}} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{7}, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{3})$

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15、设 $a = {0.3}^{2}$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = \log_{\sqrt{2}} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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16、幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象关于原点对称，且在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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17、已知 $p : - 3 < x < 1$ ， $q : \frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ ，则p是q的（）条件

A、既不充分又不必要 B、充要 C、必要不充分 D、充分不必要

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18、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2, x \in R}, B = {0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(0, 2)$ D、 ${0, 1, 2}$

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19、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）.

(1)、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交，求r的取值范围；

(2)、若直线l： $y = k x + 1$ 与圆 $C_{1}$ 交于P、Q两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 4$ ，求实数k的值；

(3)、若 $r = 2$ ，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

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20、如图，已知圆心坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$ 的圆 $M$ 与 $x$ 轴及直线 $y = \sqrt{3} x$ 分别相切于 $A$ 、 $B$ 两点，另一圆 $N$ 与圆 $M$ 外切，且与 $x$ 轴及直线 $y = \sqrt{3} x$ 分别相切于 $C$ 、 $D$ 两点．
（1）求圆 $M$ 和圆 $N$ 的方程；
（2）过点 $B$ 作直线 $M N$ 的平行线 $l$ ，求直线 $l$ 被圆 $N$ 截得的弦的长度．

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时间/分钟	0	1	2	3	4	5
水温/℃	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33