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相关试卷

1、甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ 、动点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ， $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程：

(2)、已知点 $M (4, 0)$ ， $N (t, 0)$ ，过点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，设直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}}$ ， $- \frac{1}{k}$ ， $\frac{1}{k_{2}}$ 成等差数列，求 $t$ ．

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 b cos C + 3 c cos B - 5 a cos A = 0$ ．

(1)、求 $cos 2 A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A D = 2 B C = 2 C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $\vec{B P} = 3 \vec{B F}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $b c$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $A B$ 相切于点 $N$ ，若 $\vec{A B} = 6 \vec{A N}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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6、已知曲线 $y = a x ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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7、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥ P A$ ， $P B = 2 P A = 2 a$ ， $P C = b$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $P O = 1$ ，则（）

A、 $P C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $\frac{5}{4 a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最小值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球表面积的最小值为 $\frac{25 π}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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10、已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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12、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $\tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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13、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 6 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，直线 $F M$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N| =$ （）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“ $a_{2} a_{6} > a_{3} a_{4}$ ”是“ $q > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（）

A、12 B、24 C、30 D、36

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 0) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.3

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17、已知函数 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ D、 $(\frac{5 π}{6}, 0)$

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18、已知集合 $U = \{x \in N^{*} ∣ x < 9\}$ ， $A = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 7, 8\}$ B、 $\{1, 2, 7, 8\}$ C、 $\{1, 2, 7, 8, 9\}$ D、 $\{0, 1, 2, 7, 8, 9\}$

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19、设 $a > 0, a \neq 1$ ，函数 $f (x) = a^{x} + b, g (x) = {log}_{a} (x - b)$ .

(1)、若 $a = e, b = e^{2}$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 1, b = e^{2}$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有两个公共点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有三个公共点，求实数 $b$ 的取值范围.

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20、某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关. $p_{i j} (i, j \in \{1, 2\})$ 表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态 $i$ 到状态 $j$ 的概率，若 $p_{11} = \frac{2}{3}, p_{21} = \frac{1}{3}$ ，且 $p_{11} + p_{12} = 1, p_{21} + p_{22} = 1$ .

(1)、记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为 $X$ ，
（i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率；
（ii）求随机变量 $X$ 的期望 $E (X)$ ；

(2)、记事件 $Q_{k}$ ：前 $2 k (k \in N^{*})$ 次自动操作后的状态中状态1和状态2均为 $k$ 次，当 $k \geq 3$ 时，证明： $P (Q_{k}) \geq \frac{1}{3} P (Q_{k - 1}) + \frac{4}{27} P (Q_{k - 2})$ .

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