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相关试卷

1、下列函数中，是偶函数且在 $(0, + \infty)$ 上为减函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = x^{- 2}$ D、 $y = - x^{3}$

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2、设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 4}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | 2 \leq x < 4}$

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3、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{μ} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若平面 $α$ 以 $\vec{μ}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，一般式方程可表示为 $a x + b y + c z + d = 0$ .

(1)、若平面 $α_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (0, 3, - 1)$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所角的正弦值；

(2)、已知集合 $P = {(x, y, x) | | x | + | y | + | z | \leq 3}$ ，记集合 $P$ 中所有点构成的几何体体积为 $V$ ，集合 $Q = {(x, y, x) | | x | + | y | \leq 3, | y | + | z | \leq 3, | z | + | x | \leq 3}$ ，记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体为 $W$ ，求 $V$ 的值及几何体 $W$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.

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4、已知以动点 $P (x, y)$ 为圆心的圆 $T$ 过点 $(1, 0)$ ，且圆 $T$ 与直线 $x = - 1$ 相切，若动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与轨迹 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，已知 $A (1, 2)$ 且 $A M ⊥ A N$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点 $E$ ，并求出 $E$ 点坐标；

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5、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $M$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $\frac{B M}{A M} = t$ .

(1)、 $t = 1$ 时，求证： $C_{1} M //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、 $t = 2$ 时，若 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为 $△ A B D$ 的重心，且 $A_{1} D = \frac{2}{3} \sqrt{10}$ ，求平面 $A_{1} D_{1} M$ 与平面 $M B C$ 夹角的余弦值.

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6、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (2, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$

(1)、求过线段 $A B$ 中点 $M$ ，且与 $A B$ 垂直的直线 $l$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程.

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7、若圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 有公共点，则 $r$ 的最小值为.

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8、如下图所示平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则体对角线 $\vec{A C_{1}} =$ （用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示）.

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9、抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ ，以下说法正确的有（）

A、以 $F$ 为圆心， $\frac{p}{2}$ 为半径的圆与抛物线仅有1个交点 B、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 C、当 $A B ⊥ x$ 轴时， $|A B|$ 取到最小值 $p$ D、若点 $M$ 为抛物线准线与 $x$ 轴交点，则一定有 $∠ A M F = ∠ B M F$

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10、已知圆 $C : {(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $P (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为圆 $C$ 上一动点，则下列选项正确的是（）

A、 $k = - 1$ 时，直线 $l$ 被圆C截得的弦长最长 B、 $k = \sqrt{2}$ 时，直线 $l$ 被圆C截得的弦长最短 C、 $|P Q|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ D、三角形 $A B C$ 面积的最大值为2

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11、直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则平面 $α$ 的法向量可以是（）

A、 $\vec{n} = (1, 2, 0)$ B、 $\vec{n} = (- 2, - 4, 0)$ C、 $\vec{n} = (2, - 1, 0)$ D、 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$

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12、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的一个公共点 $P$ 恰在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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13、暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点 $A (2, 4)$ ，经直线 $x + y = 0$ 反射后经过点 $B (4, 2)$ ，则入射光线所在直线方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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14、过 $A (a, 1)$ ， $B (1, - a)$ 两点的直线倾斜角为 $120 °$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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15、若方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ ， $n$ 的一组可能取值是（）

A、 $m = 2$ ， $n = 1$ B、 $m = 1$ ， $n = 2$ C、 $m = 1$ ， $n = \frac{1}{2}$ D、 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = \frac{1}{3}$

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16、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 2, k)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、以上都不对

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17、已知直线 $l_{1} : k x - y - 3 - 4 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ．

(1)、求过点 $P$ 且在两坐标轴上截距相等的直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴负半轴于点 $B$ ．
（ⅰ）求实数 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）若三角形 $A B O$ 的面积为 $S$ （ $O$ 为坐标原点），求 $S$ 的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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18、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，并且过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 2$ 被圆 $C$ 截得的弦长 $L = 2 \sqrt{2}$ ，求直线的 $l$ 方程．

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19、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} A$ 的中点．

(1)、求 $\cos ⟨\vec{B A_{1}}, \vec{C B_{1}}⟩$ 的值；

(2)、求证： $B N$ ⊥平面 $C_{1} M N$ ．

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20、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ， $l$ 为过 $M (1, \sqrt{2})$ 的圆的切线，A为 $l$ 上任一点，过A作圆 $N : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是．

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