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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 > 0\}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 2}$

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2、如图，过椭圆的左右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 分别作长轴的垂线 $l_{1}, l_{2}$ 交椭圆于 $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ ，将 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的椭圆弧删除再分别以 $F_{1}, F_{2}$ 为圆心，线段 $F_{1} A_{1}, F_{2} A_{2}$ 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在 $l_{1}, l_{2}$ 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为 ${(x \pm \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ ．
（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点 $F_{1}$ 与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} M} + 2 \vec{F_{1} N} = \vec{0}$ ，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点 $F_{1}$ ，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{M N} = 0$ ，求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围．

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3、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A C = 2, B C = 2 \sqrt{3}, A B = A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D B_{1}$ 所成角的正弦值.

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4、过椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 上一动点P分别向圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 $| P M |^{2} + 2 | P N |^{2}$ 的最小值为．

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5、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴垂线交双曲线于 $A, B$ 两点， $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M、N、P分别是 $B B_{1}$ 、 $B C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面 $P M N$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $P$ 到平面 $A M N$ 的距离.

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7、如图所示，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D$ ．

(1)、求证： $C C_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为多少时，能使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ？请给出证明．

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8、设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的最大值.

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9、经过两直线 $x + 3 y - 10 = 0$ 和 $3 x - y = 0$ 的交点，且和原点相距为1的直线方程为．

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10、设 $\overset{⃑}{e_{1}}, \overset{⃑}{e_{2}}$ 是空间两个不共线的向量，已知 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{e_{1}} + k \overset{⃑}{e_{2}}, \overset{⃑}{B C} = 5 \overset{⃑}{e_{1}} + 4 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{D C} = - \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ，且A，B，D三点共线，则实数k＝．

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11、如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 $A P = 3 P N$ ， $\vec{O N} = \frac{2}{3} \vec{O M}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\vec{A N} = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{A P} = - \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - x - \ln a$ ， $a > 0$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处切线的斜率；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极大值；

(3)、设 $g (x) = a e^{x} - x^{2}$ ，当 $a \in (1, e)$ 时，求函数 $g (x)$ 的零点个数．并说明理由．

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13、近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5

(1)、从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月 $MPV$ 零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；

(2)、从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中 $SUV$ 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望 $E X$ ；

(3)、记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为 $s_{1}^{2}$ ，同期各月轿车与对应的 $MPV$ 月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，写出 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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14、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $T_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$ ，给出下列四个结论：
①若 $a_{n} = n$ ，则 $T_{2025} = 1013$ ；
②若 $T_{n} = n$ ，则 $a_{2025} = - 1$ ；
③若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $|T_{n}| < M$ ，则有 $|a_{n + 1} - a_{n}| < 2 M$ ；
④存在各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $|T_{n}| > |T_{n + 1}|$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立．
其中所有正确结论的序号是．

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15、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + a, x \leq 1 \\ - a {(x - 2)}^{2} + 1, x > 1 \end{array}$ ，若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是；若 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, + \infty)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16、设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为.

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17、已知双曲线 $C : 4 x^{2} - y^{2} = 4$ ，则C的焦点到其渐近线的距离为．

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q是棱 $D D_{1}$ 上的动点，下列说法中错误的是（）．
①存在点Q，使得 $C_{1} Q ∥ A_{1} C$ ；
②存在点Q，使得 $C_{1} Q ⊥ A_{1} C$ ；
③对于任意点Q，Q到 $A_{1} C$ 的距离为定值；
④存在点Q， $△ A_{1} C Q$ 是锐角三角形．

A、①③ B、②③ C、②④ D、①③④

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19、在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 1, ∠ C = 90 °$ ． P为 $A B$ 边上的动点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{4}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{8}, 1]$ C、 $[- \frac{1}{4}, 2]$ D、 $[- \frac{1}{8}, 2]$

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20、在 $△ A B C$ 中，“ $△ A B C$ 为直角三角形”是“对于任意 $t \neq 1$ ， $|\vec{B A} - t \vec{B C}| > |\vec{A C}|$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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	12月	1月	2月	3月	4月	5月
轿车	28.4	21.3	15.4	26.0	16.7	21.0
MPV	0.8	0.2	0.2	0.3	0.4	0.4
SUV	18.1	13.7	11.7	18.1	11.3	14.5