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相关试卷

1、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2), \vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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2、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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3、某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 $\frac{2}{7}$ ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值，并探究数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．

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4、在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为 $k + 1$ 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；

(2)、假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？

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5、在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，乙同学答对问题A、B、C的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

(1)、求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

(2)、运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.

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6、已知 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有二项式系数的和为32.

(1)、求n的值；

(2)、若展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数为80，求a的值.

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7、从 $1, 2, \dots, 12$ 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 $s^{2} \leq 1$ 的概率 $=$ .

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8、已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为．

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9、 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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10、来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11、圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）

A、10 B、20 C、40 D、60

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12、将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（）

A、50 B、150 C、240 D、300

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13、 $2^{2024} + 1$ 除以15的余数是（）

A、9 B、8 C、3 D、2

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14、深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（）

A、0.3 B、0.32 C、0.68 D、0.7

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15、在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）种

A、72 B、36 C、12 D、6

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16、已知x，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求得的回归直线方程为 $\hat{y} = 2 \hat{x} + 3$ ，则 $m =$ （）
x
12
9
14
y
27
20
m

A、30 B、31 C、32 D、33

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17、投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 $A =$ {两次的点数均为偶数}， $B =$ {两次的点数之和为6}，则 $P (B | A) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、定义：若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点 $M$ 和 $N$ 关于 $x$ 轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{x} - 2$ 和 $g (x) = x$ 是否具有 $C$ 关系；

(2)、若函数 $f (x) = x e^{x}$ 和 $g (x) = - k \sin x$ （ $k > 0$ ）在区间 $(0, π)$ 上具有 $C$ 关系，求实数 $k$ 的取值范围．

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19、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 均为菱形， $∠ A B C = A_{1} B C = 60^{\circ}, cos ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B C D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D D_{1} - C_{1}$ 的正弦值.

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 9 (a \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} = - 2 x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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