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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、取线段 $P A$ 中点M，连接 $B M$ ，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点E，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2、已知 $△ A B C$ 的面积记为 $S$ .请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
① $2 a = c + 2 b cos C$ ；② $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{B C} + 2 S = 0$ ；③ $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$
$△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________.

(1)、若 $b = 7$ ， $c = 5$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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3、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .

(1)、求出以 $P Q$ 为直径，点 $Q^{'}$ 为圆心的圆的方程；

(2)、设圆 $Q$ 与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 是圆 $Q$ 的切线吗?为什么?

(3)、求直线 $A B$ 的方程.

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4、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $s^{2}$ .
参考公式： $s^{2} = \frac{n}{n + m} [s_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [s_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数.

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}, B C$ 的中点， $Q$ 为平面 $P M N$ 上的动点，且直线 $Q B_{1}$ 与直线 $D B_{1}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，则（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $P M N$ B、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面图形为正六边形 C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $π$ D、能放入由平面 $P M N$ 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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6、已知向量 $\vec{m} = (\cos α, - \sin α), \vec{n} = (\cos β, \sin β)$ ，则（）

A、若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $α + β = 2 k π (k \in Z)$ B、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 2$ C、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = \cos (α + β)$ D、 $|\vec{m} + \vec{n}| \leq 2$

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7、为使 $x^{2} + y^{2} + 4 x \cos θ + 8 y \sin θ + 10 = 0$ 成为一个圆的方程， $θ$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，设 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $|O P| = |P F_{2}| = \frac{\sqrt{2}}{4} |F_{1} F_{2}|$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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9、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上一点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离为6，若点 $P$ 为抛物线 $C$ 的准线上的动点，则 $P O + P A$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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10、如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、已知集合 $A = {x ∣ x > 1}, B = {x ∣ (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ x > 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 2$ 或 $x < - 1}$

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12、已知 $A (2, 3)$ 和 $P (4, 0)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点.

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $△ A B P$ 的面积为12，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设过点 $D (0, \sqrt{3})$ 的动直线与椭圆 $C$ 有两个交点 $M$ 、 $N$ ，试判断在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得向量所成角 $⟨\vec{T M}, \vec{T N}⟩ \in [\frac{π}{2}, π]$ 恒成立，若存在，求出 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

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13、如图1所示，在等腰梯形 $A B C D$ ， $B C // A D ， C E ⊥ A D$ ，垂足为E， $A D = 3 B C = 3 ， E C = 1$ ，将 $△ D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $△ D_{1} E C$ 的位置，如图2所示.点 $G$ 为棱 $A D_{1}$ 上一个动点，平面 $D_{1} E C ⊥$ 平面 $A B C E$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A B D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在棱 $A D_{1}$ （不包括端点）上是否存在点 $G$ ，使平面 $A B D_{1}$ 与平面 $G E C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{A G}{A D_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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14、为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为 $α (\frac{1}{2} \leq α < 1)$ ，乙每次解开密码的概率为 $β (\frac{1}{2} \leq β < 1)$ ，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为 $\frac{3}{8}$ ，乙成功解密两份文件的概率为 $\frac{4}{9}$ ．

(1)、求 $α, β$ 的值；

(2)、求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率．

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15、为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；

(2)、试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；

(3)、用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取多少人？

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16、已知点 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $∠ A P B = θ$ 且 $|P A| \cdot |P B| \cdot \cos^{2} \frac{θ}{2} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为

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17、若曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}} (- 1 \leq x \leq 1)$ 与直线 $k x - y + 3 = 0$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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18、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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19、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点 $($ 包含端点 $)$ ，给出下列四个结论，其中正确的是（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 中，点P到平面 $A_{1} B D$ 的距离为定值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、过点P且平行于平面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $2 \sqrt{5}$ C、直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、当点P为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $13 π$

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20、已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $C$ 是椭圆，则 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6$ B、若 $C$ 是双曲线，则 $||P F_{1}| - |P F_{2}|| = 6$ C、若 $m = 8$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{8}{9}$ D、若 $m = - 8$ ，则 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{17}}{3}$

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