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相关试卷

1、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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2、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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3、用1，2，3， $12$ 四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成个不同的五位数．

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4、已知实数 $a, b$ 满足 $2^{a} = 3, 3^{b} = 2$ ，则 $a b =$ ．

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5、现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 $A$ 队，丙、丁为 $B$ 队．已知甲、乙传给队友的概率为 $\frac{1}{3}$ ，丙、丁传给队友的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为 $n$ （ $n \in N_{+}$ 且 $n \geq 2$ ），则（）

A、传球 $n$ 次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B、 $n = 3$ 时，球在乙手中的概率为 $\frac{5}{27}$ C、传球 $n$ 次后，球在 $A$ 队成员手中的概率恒为一个常数 D、设球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n} = \frac{1}{6} [1 + {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}] (n > 2)$

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6、已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$ ， $B = C + \frac{π}{2}$ ， $A B = 2, A C = 3$ ， $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．则（）

A、 $\sin B = \frac{3}{2} \sin C$ B、 $\tan C = \frac{2}{3}$ C、 $B C = \frac{25}{13}$ D、 $A D = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是线段 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} B_{1} //$ 平面 $B C_{1} M$ B、 $B_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成夹角为 $60 °$ C、平面 $A_{1} B_{1} D ⊥$ 平面 $B C_{1} M$ D、三棱锥 $C - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{1}{12}$

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8、已知随机变量 $X ~ N (1, 4)$ ，随机变量 $Y ~ N (2, 4)$ ，正实数 $a, b$ 满足 $P (X \leq a) = P (Y \geq b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中 $A B C D$ 为矩形， $A B = 20 m$ ， $A E, D E, B F, C F$ 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ．已知区域 $A B F E$ 和 $D C F E$ 是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（）

A、 $20 π$ m² B、 $\frac{100 π}{3}$ m² C、 $50 π$ m² D、 $\frac{200 π}{3}$ m²

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10、已知函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的定义域为 $[\frac{π}{2}, a]$ ，值域为 $[- 1, \frac{1}{2}]$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ B、 $[\frac{5 π}{6}, π]$ C、 $[\frac{2π}{3}, \frac{7 π}{6}]$ D、 $[\frac{2π}{3}, π]$

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11、已知集合 $M = \{1, 2, 3\}, M \cup N = \{1, 2, 3, 4, 16\}$ ，则满足条件的集合 $N$ 的个数为（）

A、3 B、5 C、6 D、8

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (x - 1, x - 5), \vec{b} = (1, 2)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{11}{3}$ B、 $- 3$ C、3 D、 $\frac{11}{3}$

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{k} = 1$ 的一个焦点为 $F (0, 1)$ ，则 $k =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3$ D、 $5$

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14、已知复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} ， x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、设 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < 4 π$ ，曲线y= $x f (x)$ 在点 $（ x_{i} ， sin x_{i} ）$ （ $i = 1 ， 2 ， 3$ ）处切线均经过坐标原点.
（i）求 $\frac{tan x_{3} - x_{2}}{x_{3} - tan x_{2}}$ ；
（ii）求证： $tan x_{1} + tan x_{3} < 2 tan x_{2}$ ；

(2)、将 $f (x)$ 的极小值点从小到大排列，形成的数列记为 $\{x_{n}\} ， n \in N$ ，首项记为 $x_{0}$ .
（i）求证： $x_{n} \in (π + 2 n π ， \frac{3}{2} π + 2 n π) ， n \in N ，且 \{x_{n} - 2 n π\}$ 是单调递增数列；
（ii）求 $f (x)$ 的最小值.

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16、平面直角坐标系中，点 $(\sqrt{6}, 1)$ 在以 $F_{1}, F_{2}$ 为左，右焦点的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若不过 $F_{1}$ 的直线l与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ；
（i）设l的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，若 $k$ 为直线 $A F_{1}, B F_{1}$ 斜率的等差中项，求 $F_{2}$ 到l的距离 $d$ 的取值范围；
（ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求 $\frac{|A D|}{|B D|}$ 的最大值.

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17、已知 $△ A B C$ 满足三个条件：① $|A B| = 1$ ， ② $2 sin A = 2 sin B + cos 2 B$ ， ③________________.

(1)、若条件③是“ $△ A B C$ 是直角三角形”，求 $A$ ；

(2)、从下列选项中选择一个作为条件③，使满足条件的 $△ A B C$ 恰好有2个，并说明你的选择理由.
Ⅰ. $B = \frac{π}{5}$ ， Ⅱ. $B = \frac{2 π}{5} ，$ Ⅲ. $△ A B C$ 是等腰三角形.

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18、如图，棱长为 $3$ 的正方体的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，三条棱 $A B ， A C ， A D$ 都在平面 $α$ 的同侧.

(1)、若平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成的二面角为 $30^{\circ}$ ，求顶点 $D$ 到平面 $α$ 的距离的最大值；

(2)、若顶点 $B ， C$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{3}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成锐二面角的余弦值.

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19、已知 $x, y, z \in N^{*}$ ，且 $x + y + z = 7$ ，记随机变量 $X$ 为 $x, y, z$ 中的最小值，则 $D (X) =$ .

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + 1) - f (x - 1) \geq x$ 且 $f (x + 3) - f (x - 3) \leq 3 x$ .若 $f (1) = 1$ ，则 $f (49) =$ .

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