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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C ⊥ P D$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、四棱锥 $P - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．

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2、甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知第一局甲队胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局比赛的结果相互独立，且没有平局.

(1)、求甲队第2局获胜的概率；

(2)、求比赛不超过4局且甲队获胜的概率.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{3} a b$ ， $c = \frac{2 \sqrt{3}}{3} b$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $A B$ 边上的高为 $2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，平面 $α$ 经过直线 $B F$ 且平行于直线 $A_{1} E$ ，则点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为.

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5、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{3} + S_{5} = 56$ ， $2 S_{11} - 7 a_{6} = 30$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为.

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 8)$ ， $2 \vec{a} - 5 \vec{b} = (- 5, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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7、已知 $f (x + 2)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = (|x - 2| + 1) f (x - 1)$ ， $g (2) = 1$ ，若 $g (x + 2)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $g (24) = - 23$ C、 $\sum_{i = 1}^{2026} f (i) = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2026} g (i) = 2013$

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8、已知直线 $2 x - y - 3 = 0$ 被双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 截得的弦长为 $m (m > 0)$ ，则下列直线中被 $C$ 截得的弦长也为 $m$ 的有（）

A、 $2 x + y + 3 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 3 = 0$ D、 $2 x - y - 1 = 0$

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9、将函数 $f (x) = sin (\frac{1}{3} x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $π$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (0) = g (π)$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称的图象恰为 $g (x)$ 的图象 C、两函数没有相同的零点 D、两函数在 $[π, 2 π]$ 上单调性相同

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 与圆 $F : x^{2} - 2 x + y^{2} + m = 0$ 有且仅有一个公共点，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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11、设 $sin α \neq 0$ ，已知角 $α$ 的终边经过点 $P (2 sin α, sin 2 α)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12、某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第 $p$ 百分位数恰为这组数据的众数，则 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(25, 50)$ B、 $(35, 60)$ C、 $(40, 75)$ D、 $(50, 85)$

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13、设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $4 + \frac{a}{b} = a$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、8 D、4

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14、已知 $e^{a} = 2$ ， $ln b = 3$ ，则 $b^{a} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 4$ ， $a_{7} = 8$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、 $16$ B、 $24$ C、 $32$ D、 $40$

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16、设 $z + 2 = 3 \bar{z} + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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17、已知集合 $P = {x ∣ x > - 2}$ ， $Q = {x ∣ x > 1$ 或 $x < - 3}$ ，则（）

A、 $P \subseteq Q$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \cap Q = {x ∣ x > - 2}$ D、 $P \cup Q =$ ${x ∣ x > - 2$ 或 $x < - 3}$

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18、信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ ，且 $P (X = i) = p_{1} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，称 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln p_{i}$ 为 $X$ 的信息熵，用来刻画随机变量 $X$ 蕴含的信息量的大小．

(1)、抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 个点的正方体玩具），记出现向上的点数为 $X$ ，求 $H (X)$ 的值；

(2)、若 $n = 2$ ，求 $H (X)$ 的最大值；

(3)、求证； $H (X) \leq ln n$ ．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x} - b x$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若 $x > 0, f (x) > 0$ ，求实数 $b$ 的最大值．

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20、已知函数 $f (x) = ln (1 - \frac{3}{x})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $f (x) = f (- e^{x + 1})$ ；

(3)、若函数 $g (x) = (2 x - a) f (x)$ 的图象关于直线 $x = b$ 对称，求实数 $a, b$ 的值．

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