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相关试卷

1、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 焦点为 $F$ ，过 $F$ 向第一象限作射线 $F A$ ，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，切点为 $B$ ，且 $∠ F A B = 135 °$ ，则点 $A$ 的轨迹是的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.

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2、（多选题）已知 $△ A B C$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $R t △ A C D$ 和 $R t △ B C D$ ）组成的三角形，如下图所示，其中 $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ .现将 $R t △ A C D$ 沿斜边 $A C$ 进行翻折成 $△ D_{1} A C$ （ $D_{1}$ 不在平面 $A B C$ 上）.若 $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则在 $△ A C D$ 翻折过程中，下列命题中正确的是（）

A、在线段 $B D$ 上存在一定点 $E$ ，使得 $A D_{1} / /$ 平面 $M N E$ B、存在某个位置，使得直线 $A D_{1} ⊥$ 平面 $B C D_{1}$ C、存在某个位置，使得直线 $A D_{1}$ 与 $D M$ 所成角为 $60 °$ D、对于任意位置，二面角 $D_{1} - B C - A$ 始终不小于直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角

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3、在平面直角坐标系中，曲线 $Γ$ 的方程为： $x^{2} y = x + y - y^{2}$ ，试判断下列说法中正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 与直线： $y = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 没有交点 B、存在垂直于x轴的直线与曲线 $Γ$ 没有交点 C、曲线 $Γ$ 与直线： $x + y + 3 = 0$ 有两个交点 D、曲线 $Γ$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = x + y$ 有三个交点

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4、随机事件A，B满足 $P (B) < P (A) < 1 ， P (A B) + P (A + B) = 1 ， P (\bar{A} B + \bar{B} A) = \sqrt{P^{2} (A) + P^{2} (B)} = \frac{5}{7}$ ，其中 $P (A) 和 P (B)$ 分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A)$ = $\frac{3}{7}$ B、 $P (A B)$ = $\frac{1}{7}$ C、事件A与B不独立 D、 $P (B | A) = P (A + B)$

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5、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，记函数 $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，设函数 $F (x) = f^{- 1} (x) - f (x)$ 的极值点个数为c；当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \cdot \sin x \geq k x$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, c]$ B、 $[- c, 0)$ C、 $(- \infty, - c]$ D、 $(0, c]$

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6、在平面直角坐标系中，存在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $A (- \frac{1}{2}, 0)$ 和点 $B (0, \frac{1}{2})$ ， M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ B、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $\sqrt{17}$

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7、在平面直角坐标系中有曲线 $C_{1} ： y = 2 + x^{2}$ 和 $C_{2} ： y = 2 x - 2 - x^{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于 $A, B$ ，直线 $l_{2}$ （不同于 $l_{1}$ ）与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于点 $C, D$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 交点的横坐标是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{M B} + \frac{3}{2} \vec{M A} + \frac{3}{2} \vec{M C} = \vec{0}$ ，若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ B C D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9、根据变量 $Y$ 和 $x$ 的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2}, \end{array}$ 得到经验回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则模型误差（）

A、满足一元线性回归模型的所有假设 B、只满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ 的假设 C、只满足一元线性回归模型的 $D (e) = σ^{2}$ 的假设 D、不满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ ， $D (e) = σ^{2}$ 的假设

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10、已知集合 $A = \{1 - i, \frac{1 - i}{1 + i}\}$ ， $B = \{i^{3} - i^{2}, \frac{1 + i}{1 - i}\}$ ，则集合 $C = A \cup B$ 中元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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12、已知函数 $f (x) = \frac{a + sin x}{e^{x}}, a \in R, e$ 为自然对数的底数．

(1)、若函数 $f (x)$ 存在单调递增区间，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ，试讨论方程 $f (x) = \frac{cos x}{x}$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上解的个数；

(3)、求证：对任意的 $a \geq 0$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，恒有 $e^{1 - 3 x} > 2 f^{'} (x)$ 成立．

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13、2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 $n$ 的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体
关注情况
合计
关注
不关注
大学生
$\frac{1}{2} n$
$\frac{7}{10} n$
高中生
合计
$\frac{3}{5} n$

(1)、完成上述列联表，若依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量 $n$ 的最小值；

(2)、该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知某同学答出三个问题的概率分别是 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种方案晋级的可能性更大？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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14、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos B = \frac{a - c}{2 c}$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形且 $c = 1$ ，求a的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{a^{x} + 1} + \frac{x - 1}{a x}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上有唯一的零点．

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16、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + \sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos x + a$ 的最大值为 $1$ ．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合．

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17、某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 $P (X = 5) =$ .

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18、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{4})$ 的值为.

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19、在斜三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $\sin A = \cos B$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $A - B = \frac{π}{2}$ C、若 $a = 1$ ，则 $b = \tan B$ D、 $1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{5}{4}$

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 为奇函数

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学生群体	关注情况		合计
学生群体	关注	不关注	合计
大学生	$\frac{1}{2} n$		$\frac{7}{10} n$
高中生
合计	$\frac{3}{5} n$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828