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相关试卷

1、对于函数 $f (x) = a ln x + \frac{b}{x}$ ，下面说法正确的有（）

A、当 $a b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $a b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 不存在极值点 C、当 $f (x)$ 最小值为 $b$ 时， $f (x) \geq a$ D、当 $a > 0, b > 0$ 时，函数 $g (t) = f (\frac{b}{a} + t) - f (\frac{b}{a} - t)$ 在区间 $(0, \frac{b}{a})$ 单调递减

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2、如图，在正四面体 $A - B C D$ 中，点 $P, Q, E, F, G, H$ 分别为各棱的中点，则（）

A、 $H F ⊥ G H$ B、 $P Q ⊥$ 平面 $E F H G$ C、 $3 V_{三棱锥 A - B C D} = 4 {V^{'}}_{三棱柱 P E F - A G H}$ D、直线 $D Q$ 与直线 $P E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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3、为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分
92
93
95
96
98
99
100
人数
5
7
8
14
13
下列结论正确的是（）

A、众数为99 B、极差为9 C、 $25 %$ 分位数为96 D、平均数大于中位数

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4、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 且 $a^{2} - a + \frac{1}{2} = (\frac{1}{2} - a) cos 4 B$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围（）

A、 $(\frac{3}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$ C、 $(\sqrt{2}, 4)$ D、 $(2, 4)$

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5、已知点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $O (0, 0), A (1, 1)$ ，当 $∠ P O A$ 最大时，则 $cos ∠ P O A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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6、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$

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7、函数 $f (x) = x |x - m| + n^{2}$ 是奇函数的充要条件是（）

A、 $m n = 0$ B、 $m^{2} + n^{2} = 0$ C、 $m - n = 0$ D、 $m + n = 0$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} = 2$ ， $a_{2} = 2$ ，记 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{3} =$ （）

A、4 B、6.5 C、8 D、12

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9、已知复数z满足 $z \cdot i = 1 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{8}$ 的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A、56 B、-56 C、70 D、-70

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11、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{x |\frac{x - 1}{x} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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12、已知斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = λ$ （ $λ \in R$ 且 $λ > 0$ ）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点 $N (x_{0}, 3)$ 是线段AB的中点.

(1)、若 $x_{0} = 2$ ，求 $λ$ 的取值范围；

(2)、求 $x_{0} + k$ 的值；

(3)、证明：无论 $λ$ 怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.

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13、如图，在四面体ABCD中， $B C = \sqrt{2} A D = 2, A C = 1, ∠ C A D = ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点E，F分别是CD，AB的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ A C$ ；

(2)、若二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求直线EF与平面BCD所成角的大小.

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14、已知函数 $f (x) = e x - a \sin x, x \in [0, \frac{π}{2}), a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值，求a的取值范围.

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15、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = - a b$ ，且 $b \sin C = 2 \sqrt{3} \sin B$ .

(1)、求角C及边c的值；

(2)、求 $a + b$ 的最大值.

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为 $\frac{3}{2}$ ，若等边三角形 $A_{n - 1} A_{n} B_{n} (n \in N^{*})$ 的边 $A_{n - 1} A_{n}$ 在x轴的非负半轴上， $A_{0}$ 与原点O重合，点 $A_{n}$ 的横坐标大于点 $A_{n - 1}$ 的横坐标，位于第一象限的点 $B_{n}$ ，在抛物线C上，则 $|A_{n - 1} A_{n}| =$ .（用含n的式子表示）

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17、若函数 $f (x) = \ln \frac{2 x + a}{1 - x} - b$ 是奇函数，则 $b =$ .

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18、 ${(2 x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、点 $N$ 到平面 $A_{1} A M$ 的距离为定值 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $14 π$ C、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ D、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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20、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $∠ N A_{1} M = \frac{5 π}{6}$ ，则（）

A、 $∠ A_{1} M A_{2} = \frac{π}{6}$ B、 $|M A_{1}| = 2 |M A_{2}|$ C、C的离心率为 $\sqrt{13}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_{1} M A_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$

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成绩/分	92	93	95	96	98	99	100
人数			5	7	8	14	13