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1、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相交，则点 $(a, b)$ 在圆 $O$ 的外部 B、直线 $k x - y - 3 k + 1 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的最长弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上有4个不同的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为1，则有 $r > \sqrt{2} + 1$ D、若过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的切线只有一条，则切线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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2、已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l // n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l // n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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3、已知在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $B_{1} - B E F$ 的体积取最大值时，平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4、过点 $P (1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）

A、4条 B、2条 C、3条 D、1条

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5、已知椭圆 $E$ 的两个焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆 $E$ 的上顶点， $△ Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，求点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 距离的最值；

(3)、分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作平行直线 $m, n$ ，若直线 $m$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $n$ 与曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点，其中点 $A, D$ 在 $x$ 轴上方，求四边形 $A F_{1} F_{2} D$ 的面积的取值范围．

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6、已知过定点 $T (4, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $O$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（i）求曲线 $C$ 方程；
（ii）已知点 $P$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，判断直线 $E F$ 是否过定点?求出该定点，并说明理由；

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7、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D > A Q$ ， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = 2 A Q = 2$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P Q B$ 夹角的余弦值．

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8、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的平均数和众数；

(3)、用分层抽样的方法在分数落在 $[60, 80)$ 内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在 $[70, 80)$ 内的概率．

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ A B C$ 的周长为．

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10、已知 $M, N$ 是相互独立事件，且 $P (M) = 0.4, P (N) = 0.3$ ，则 $P (M \cup N) =$ ．

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11、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\frac{2 x + y}{x - 1} \in (- \infty, 2] \cup [\frac{10}{3}, + \infty)$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 10$ 的最大值为26 C、 $|3 x + 4 y - 12|$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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12、下列说法正确的是（）

A、若直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m = - 3$ B、 $\forall a \in (0, 1)$ ，都有原点 $O$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a$ 外 C、一条光线从点 $A (- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在的直线方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 的公切线恰有2条

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，空间中的点 $M$ 满足： $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} B} + μ \vec{A_{1} D_{1}}$ ，其中 $λ \in R, μ \in R$ ，且 $\frac{M A}{M B} = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹的长度为（）

A、 $6 π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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14、“ $- 2 \leq b < 2$ ”是“直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 恰有1个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{A M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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16、已知椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、若复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \ln e^{2 x} - \ln x + a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上动点 $Q$ 到右焦点 $F$ 的距离最大值等于3．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点
①求动点 $M$ 的轨迹方程；
②求线段 $|M Q|$ 的长度的取值范围．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，侧棱 $A A_{1}$ 上点 $E, F$ 满足 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $P E / /$ 平面 $B_{1} C F$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A F = \frac{2}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B_{1} C F$ 所成角的正弦值．

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