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相关试卷

1、已知双曲线E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ， $M (1, 1)$ 是一个定点．

(1)、若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；

(2)、若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
（i）当M是 $△ O P Q$ 的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
（ii）当 $O P ⊥ O Q$ 时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．

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2、某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.

(1)、求顾客第2次取出红球的概率.

(2)、记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).

(3)、该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 $\frac{3}{4} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{2} ，$ 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由.

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3、如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形 $B C C_{1} B_{1}$ ， $B C$ 是圆柱底面的直径， $O$ 为底面圆心， $A A_{1}$ 为圆柱的一条母线， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C = A A_{1} = 2$ .

(1)、求证：平面 $A O E ⊥$ 平面 $A O B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $B_{1} O E$ 夹角的大小.

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} sin x$ ， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $u (x) = g (x) - f (x)$ ， $v (x) = u^{'} (x)$ ．当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明： $u (x) + v (x) \cdot (\frac{π}{2} - x) \geq 0$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 \sqrt{a_{n}} + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设函数 $f (x) = \frac{x}{a_{1} \cdot \sqrt{a_{2}}} + \frac{x^{2}}{a_{2} \cdot \sqrt{a_{3}}} + \dots + \frac{x^{n}}{a_{n} \cdot \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求 $f^{'} (1)$ ．

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6、某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是.

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7、若直线 $y = - 3 x + m$ 与曲线 $y = \frac{2}{x} - \ln x$ 相切，则实数 $m$ 的值为.

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8、在圆锥 $P O$ 中，轴截面 $P A B$ 是边长为2的等边三角形， $M$ 是 $P B$ 的中点.用一个平面截圆锥 $P O$ ，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面 $P A B$ ），则（）

A、圆的面积为 $\frac{π}{4}$ B、椭圆的长轴长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、抛物线的焦点到准线的距离为1 D、双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、已知角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边过点 $P (- 4, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sin α = \frac{3}{5}$ B、 $\cos 2 α = - \frac{7}{25}$ C、 $\tan \frac{α}{2} = 3$ D、 $sin (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 20$ ，则公差为2 B、若 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 \sqrt{a_{n}}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 C、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 8$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ， $S_{n} = \frac{31}{2}$ ，则 $a_{n} = \frac{1}{2}$ D、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{31}{32}$ ，则公比为 $\frac{1}{2}$

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11、当一个非空数集 $G$ 满足：如果 $a, b \in G$ ，那么 $a + b, a - b, a b \in G$ 且当 $b \neq 0$ 时， $\frac{a}{b} \in G$ 时，我们称 $G$ 就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域 $G$ 有非零元素，则 $2026 \in G$ ；③集合 $P = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ 是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（）.

A、①②④ B、②③④ C、①④ D、①②

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12、在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（）

A、40%分位数 B、60%分位数 C、75%分位数 D、85%分位数

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13、已知 ${(x - 3)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ （）

A、 $- 15$ B、 $- 16$ C、 $- 80$ D、 $- 81$

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14、已知圆 $O$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，则“点 $M (2, 1)$ 在圆 $O$ 外”是“点 $N (0, 2)$ 在圆 $O$ 外”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 2)$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(- 2, - 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 10$ C、5 D、10

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16、若 $z (1 - i) = 1 + i$ ，则 $z^{10} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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17、已知集合 $A = \{y |y = x^{2}\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $R$ C、 $\emptyset$ D、 $\{(0, 0), (1, 1)\}$

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18、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a sin x,$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{0}, x_{1} \in (0, π)$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{1}) = 0$ ，求证： $x_{0} < 2 x_{1}$ ．

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19、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 既是双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线，也是双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线，且双曲线 $C_{2}$ 的焦距是双曲线 $C_{1}$ 的焦距的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、任作一条平行于 $l_{1}$ 的直线 $l$ 依次与直线 $l_{2}$ 以及双曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于点 $L$ ， $M$ ， $N$ ，求 $\frac{M N}{N L}$ 的值；

(3)、如图， $P$ 为双曲线 $C_{2}$ 上任意一点，过点 $P$ 分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的平行线交 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，证明： $△ P A B$ 的面积为定值，并求出该定值.

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O_{1}, O$ 分别为上下底面的中心，圆锥 $O O_{1}$ 的顶点为 $O$ ，圆锥底面为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切圆， $M$ 为 $A D$ 中点，如图所示．

(1)、设点Q在圆锥 $O O_{1}$ 的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若 $C Q = \sqrt{7}$ ，证明： $C Q ∥$ 平面 $A_{1} O B$ ．

(2)、设平面 $A_{1} B C D_{1}$ 和圆锥 $O O_{1}$ 侧面的公共点构成集合 $Ω$ ，若 $P \in Ω$ ，求PM的最小值．

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