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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，则复数 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、下列函数中，定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \ln x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \tan x$

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3、若对于任意整数 $i$ ， $j$ ，均有 $a_{i + j} < a_{i} + a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $A -$ 数列.

(1)、设各项均为正整数且公差不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 为 $A -$ 数列， $b_{1} = 2$ ，求 $b_{n}$ ；

(2)、证明：当 $0 < k < 1$ 时，数列 $\{n^{k}\}$ 为 $A -$ 数列；

(3)、证明：若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，当 $a_{n} > k a_{n - 1}$ 时（其中 $k > 1$ ， $k$ 为常数），数列 $\{a_{n}\}$ 不是 $A -$ 数列.

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程：

(2)、过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (2, \sqrt{3})$ ，直线 $B M$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $N$ .
（i）证明：直线 $A N$ 的斜率为定值；
（ii）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ Q B M$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(1, e)$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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6、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = a \cos C + 2 c \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $B C$ 边上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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7、两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为.

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 上，若等边三角形 $A B F_{1}$ 的重心为 $F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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9、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，函数 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x) + g (x) = x$ ，则 $g (x)$ 可以是.（写出一个满足条件的函数即可）

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10、抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，一束光线从 $A$ 点出发平行于 $x$ 轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出， $A B ⊥ x$ 轴，设反射点分别为 $P$ ， $Q$ ， $O$ 为坐标原点，过 $P$ ， $Q$ 分别作 $∠ A P Q$ ， $∠ B Q P$ 的角平分线交于点 $M$ ，已知 $|P Q|$ 的最小值为2，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、若 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，则直线 $P Q$ 的斜率为 $\pm 1$ C、存在直线 $P Q$ ，使得 $O$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ 四点共圆 D、 $△ M P Q$ 面积的最小值为1

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11、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A B) = 0.2$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (B |A) = 0.4$ C、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A |B) = \frac{4}{5}$ D、若 $P (B |A) = 0.25$ ，则 $P (B |\bar{A}) = \frac{2}{3}$

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12、已知 $z = 2 + i$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 5 = 0 (a \in R)$ 在复数范围内的一个根，则（）

A、 $|z^{2}| = 5$ B、 $a = 4$ C、 $\frac{5}{z} + 2$ 为纯虚数 D、 $2 - i$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 5 = 0$ 的另一个根

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13、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ， $f (1) = 1$ ，设 $b_{n} = n f (n)$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_{n} > 2024$ 成立的最小整数 $n$ 为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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14、已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、若 $\tan (α + \frac{π}{8}) + \frac{1}{\tan (α + \frac{π}{8})} = 3$ ，则 $\sin 4 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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17、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $x + y - m = 0 (m \in R)$ ，若圆 $C$ 上有且仅有一点到直线 $l$ 的距离为1，则 $m =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、±2 D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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18、已知集合 $M = {x \in N | | x | \leq 2}$ ， $N = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $\{1, 2\}$

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19、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D在边BC上且满足 $C D = 2 B D$ .

(1)、用 $\vec{A B}$ 、 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ，并求 $|\vec{A D}|$ ；

(2)、若点E为边AB中点，求 $\vec{C E}$ 与 $\vec{A D}$ 夹角的余弦值.

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20、《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F C ∥ E A$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $C D = C F = 4$ ．

(1)、证明：四面体 $B C F D$ 为鳖臑；

(2)、求点C到平面 $B D F$ 的距离．

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