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相关试卷

1、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中， $x^{- \frac{1}{2}}$ 项的系数为.

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2、已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\frac{23 + 14 i}{3 + 4 i}$ 的结果为.

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3、双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点依次为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），直线l为双曲线 $C_{1}$ 在第一、三象限的渐近线，过x轴正半轴上任意一点 $T (t, 0)$ 做垂直于x轴的直线，分别交渐近线l于点A，交抛物线记 $C_{2}$ 于点M（A，M均在第一象限），若 ${|O M|}^{2} - {|O A|}^{2}$ 的最大值 $\frac{4}{5} {|F_{1} F_{2}|}^{2}$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）， $f (x)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称，若关于x的方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0, π]$ 上有且只有两个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\cos (x_{1} + x_{2})$ 的所有可能取值构成的集合为（）

A、 $\{- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}$ B、 $\{- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\}$ C、 $\{\frac{1}{2}\}$ D、 $\{\frac{\sqrt{3}}{2}\}$

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5、今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底 $I J$ 长4米， $B I$ 腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（）

A、168 B、192 C、216 D、240

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6、某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据 $(x_{i}, y_{i})$ ，（ $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点 $E (10, 2)$ 后，剩余4组数据的样本相关系数为 $r^{'}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < r < r^{'} < 1$ B、 $r^{'} < r < 0$ C、 $r < 1 < r^{'}$ D、 $0 < r^{'} < r < 1$

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} + |a_{n}| = 2$ ，那么使这个数列前n项的和 $S_{n} = 2026$ 成立的正整数n的最小值为（）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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8、设 $a = {1.5}^{1.1}$ ， $b = {1.1}^{1.5}$ ， $c = \log_{1.5} 1.1$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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9、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{e^{|x|} \cos x}{x}$ B、 $\frac{e^{|x|} \sin x}{x}$ C、 $\frac{e^{|x|} \sin x}{x^{2}}$ D、 $\frac{e^{|x|} \cos x}{x^{2}}$

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10、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 5\}$ B、 $\{2, 4, 5, 6\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{4, 6\}$

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11、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，无穷数列 $\{b_{n}\}$ 满足以下性质：
① $b_{1} = 0 ， b_{2} = 1$ ；
② $b_{n + 2} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} b_{n + 1} + b_{n} ， a_{n} = 1 ， \\ a_{n + 1} b_{n + 1} - b_{n} ， a_{n} > 1 ． \end{array}$

(1)、若 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 1 ， b_{5} = 5$ ，求 $b_{3} ， b_{4} ， a_{4}$ ；

(2)、证明： $b_{5} \geq 1$ ；

(3)、是否存在大于1的正整数 $n$ ，使得 $b_{n} < 1$ 成立？说明理由．

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12、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = e - \frac{1}{e}$ 时，求满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $a \leq 2$ 时，判断曲线 $y = f (x)$ 上是否存在两个不同的点关于点 $(1, 0)$ 对称，并说明理由．

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13、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长与短轴长之和为6，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 分别为椭圆 $E$ 上位于第一象限，第二象限内的点，且 $x_{1} = 2 y_{2}$ ．当点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ 时，求证：点 $M$ 在椭圆 $E$ 上．

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14、2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
城区
$a$
220
180
150
50
郊区
500
120
80
70
30
用频率估计概率．

(1)、从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；

(2)、从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；

(3)、该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
过敏程度评分
0
1
2
3
4
该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2， $A$ 地区青少年的过敏程度平均评分为 $1.2$ ， $B$ 地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了 $p % ， B$ 地区青少年的过敏程度平均评分不变．记 $μ$ 为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后 $μ \leq 0.92$ （该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出 $p$ 的最小正整数值．（结论不要求证明）

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15、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $D E ⊥$ 平面 $A B C D, B F / / D E$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， D E = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体 $A B C D E F$ 唯一确定，求平面 $A B F$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值．
条件①： $F A = F C$ ；
条件②：直线 $A F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ；
条件③： $△ A F C$ 的面积为 $2 \sqrt{7}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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16、在 $△ A B C$ 中， $b cos C = - 2$ ， $c sin B = 2 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2025 x - 2025, g (x) = x^{3} + 2026 x - 2026, h (x) = x^{3} + 2026 x - 2025$ ．给出下列四个结论：
①曲线 $y = h (x)$ 是中心对称图形；
②当 $x \in (0, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在曲线 $y = g (x)$ 的上方；
③当 $x \in R$ 时， $g (x + 2) - g (x + 1) > g (x + 1) - g (x)$ ；
④设正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 分别是 $f (x), g (x), h (x)$ 的零点，则 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ ．
其中正确结论的序号是

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18、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿 $= 1$ 万 $\times 1$ 万 $= 10^{8} ， 1$ 兆 $=$ 1亿 $\times 1$ 亿 $= 10^{16} ， 1$ 京 $= 1$ 兆 $\times 1$ 兆 $= 10^{32}$ ，以此类推．若按“上数”进制，记第 $n$ 个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为 $a_{n}$ ，则 $lg a_{5} =$ ；若 $a_{1} a_{2} \dots a_{k} > 10^{1000}$ ，则正整数 $k$ 的最小值为．

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19、已知函数 $f (x) = cos (π x + \frac{π}{3})$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $f (a) \leq f (x) \leq f (b)$ ，则 $|a - b|$ 的最小值为．

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20、已知直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点；能使 $∠ A C B$ 为锐角的 $k$ 的一个取值为．

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过敏程度	无过敏	轻度过敏	中度过敏	重度过敏	极重度过敏
城区	$a$	220	180	150	50
郊区	500	120	80	70	30