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相关试卷

1、设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ .

(1)、若不等式 $y < - 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求 $\frac{m^{2} - 2 m + 5}{m - 1}$ 的最大值；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 > (m^{2} + 3) x - m - 4$ 的解集. $(m \geq 0)$

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2、某企业投资144万元用于火力发电项目， $n (n \in N_{+})$ 年内的总维修保养费用为（ $4 n^{2} + 40 n$ ）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）

(1)、写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)、随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；
②纯利润最大时，以4万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

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3、（1）若 $a > 0, b > 0$ ，且 $3 a b = a + b + 1$ ，求 $a + b$ 的最小值，并指出取得最小值时相应的 $a, b$ 的值.
（2）已知 $a, b, c$ 都为正实数，且 $a + b + c = 1$ ，求证： $(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) \geq 10$ .

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4、设集合 $U = R$ ， $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m}$ .

(1)、 $m = 3$ ，求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $m$ 的取值范围.

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5、当 $x \in (2, + \infty)$ 时，不等式 $\frac{m^{2} x - 1}{m x + 1} < 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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6、已知 $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n^{2} + n}{2}$ .若对于非空数集 $A$ ，存在 $k (k > 1)$ 个两两交集为空的集合 $B_{1}$ ， $B_{2}, \dots, B_{k}$ ，使得 $B_{1} \cup B_{2} \cup \dots \cup B_{k} = A$ ，且 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{k}$ 任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合 $A$ 为“ $k$ 可分集”.设 $A_{n} = {1, 2, \dots, n}$ ，则（）

A、 $A_{4}$ 是“4可分集” B、若 $A_{4 k}$ 是“4可分集”，则 $k$ 为偶数 C、对于任意的偶数 $k, A_{3 k}$ 不为“ $k$ 可分集” D、对于任意的奇数 $k, A_{3 k}$ 均为“ $k$ 可分集”

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7、下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ， $y = x + 3$ B、 $y = \sqrt{x^{2}} - 1$ ， $y = x - 1$ C、 $y = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ ， $y = |x - 1|$ D、 $y = x^{- 1}$ ， $y = - \frac{1}{x}$

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8、图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap (∁_{U} M)$ B、 $M \cap (∁_{U} M)$ C、 $∁_{(M \cup N)} N$ D、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$

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9、已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x) < m^{2} - 2 a m + 2$ 对所有的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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10、已知正数x，y满足 $x y = x + y + 8$ ，则 $x + y$ 的最小值为

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11、函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 2 x^{2}$ ， $f (1 + x) - f (1 - x) = 8 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (2) = 4$ B、 $f (3) + f (1) = 18$ C、 $y = f (x) - x^{2}$ 为奇函数 D、 $f (x + 2) + f (x) \geq 0$

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12、已知集合 $A = \{x | x \leq - 2 或 x ＞ 1\}$ ， B=(2a-3，a+1），若 $A \cup B = R$ ，则a的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：① $x > y > z > 0$ ；② $4 z > x + y$ ，则这些数学专著至少有（）

A、9本 B、10本 C、11本 D、12本

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14、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + 2 a + b$ 是定义在 $[a - 1, a]$ 上的偶函数，则 $f (a + b) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{8}$

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15、下列关系正确的是（）

A、 $0 \notin N$ B、 $\sqrt{3} \in Q$ C、 $Z \in Q$ D、 $\{1, 2\} \subseteq \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$

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16、已知 $f (x) = \frac{a x^{2} + b}{x}$ ，其中 $f (x)$ 的图象经过点 $(1, 2)$ 和 $(2, \frac{5}{2})$

(1)、求出 $f (x)$ 的解析式，判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(2)、命题 $p : \forall x \in (0, 1], f (x) + 2 m \geq 0$ 恒成立；命题 $q : \exists x \in R$ ，使得 $x^{2} - 4 x +$ $m^{2} < 0$ ，若 $p$ 与 $q$ 中至少有一个为假命题，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，讨论函数 $g (x) = f (x^{2}) - a \cdot f (x)$ 的最小值（其中 $a \in R$ ）．

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17、（1）若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ 或 $x >$ $b}$ ，求实数 $a, b$ 的值；
（2）当（1）的情况下， $x > 0, y > 0$ 且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；
（3）当 $a > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ 的解集．

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18、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{4 - x^{2}}\}, B = \{x |x > 1\}$ ，

(1)、求集合 $(A \cap B) \cup (∁_{R} A), (∁_{R} B) \cap A$

(2)、设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + a$ 和函数 $g (x) = x^{2}$ ，集合 $C = \{x |g (x) \in B\}$ ，若 $\forall x \in A$ ，都有 $f (x) \in C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} ， g (x) = - x + 2 ， x \in R ． \forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ．

(1)、在给定的坐标系中，画出函数 $m (x)$ 的图象；

(2)、结合图象写出函数 $m (x)$ 的解析式，并求出 $m (m (- 2))$ 的值；

(3)、根据图象写出函数 $m (x)$ 的单调区间及在每一个单调区间上的单调性．

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20、已知二次函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{3}{2}$ 对称， $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |1 < x < m, x \in R\}$ ， $f (3) = 2$ .

(1)、求 $m$ 的值和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x, (a \in R)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上具有单调性，求 $a$ 的取值范围．

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