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相关试卷

1、设 $a = \frac{4}{104}$ ， $b = \ln 1.04$ ， $c = e^{0.04} - 1$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 焦距为 $2 c$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{c}{2}$ ，则离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、2

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3、与圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 都相切的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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4、4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A、 $A_{3}^{3}$ B、 $A_{4}^{4}$ C、 $4^{3}$ D、 $3^{4}$

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5、 $\sqrt{5} - 2$ 和 $\sqrt{5} + 2$ 的等差中项与等比中项分别为（）

A、 $\sqrt{5}, 1$ B、 $\sqrt{5}, \pm 1$ C、 $2, \pm \sqrt{5}$ D、 $1, \pm \sqrt{5}$

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6、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{\ln 2}{x}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = x e^{x} + 1$ D、 ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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8、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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10、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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16、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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17、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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18、袋中共装有 $n$ 个小球，分别标有编号1，2，3，…， $n$ .现采用“先试验后锁定”的策略进行 $m (m < n)$ 次操作：前 $k (k \leq m)$ 次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的 $m - k$ 次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记 $S$ 为这 $m$ 次操作中记录的全部编号之和， $E (S)$ 为 $S$ 的数学期望.

(1)、当 $n = 10$ ， $m = 5$ ， $k = 3$ 时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；

(2)、若 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， …， $X_{i}$ 是定义在同一个随机试验样本空间上的任意 $i$ 个离散型随机变量，则 $E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{i}) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{i})$ .基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当 $m = 17$ 时，求 $E (S)$ 的最大值以及此时 $k$ 的值.

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19、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ ， $Q$ 为双曲线左支上的两点，直线 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $G$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{F_{1} G} = 3 \vec{P F_{1}}$ ，求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、设线段 $P Q$ 的中点为 $D$ ，直线 $P Q$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，点 $N$ 为 $M$ 关于原点的对称点，以 $N$ 为圆心作与 $y$ 轴相切的圆，过 $D$ 作该圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $sin ∠ E D F$ 的取值范围.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = B C = 2 A D = 2$ ， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ .以 $A C$ 为直径的球面分别交 $P B$ ， $P C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 异于所在棱端点）.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $M N$ 与 $C D$ 的夹角；

(3)、求三棱锥 $C - M N D$ 的体积.

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