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相关试卷

1、已知向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 1$ ，则三角形 $A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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2、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ， $tan (α + β) = \frac{2}{5}$ ，则 $tan (β + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3}{22}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{13}{22}$

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3、如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $100 π$ D、 $200 π$

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $\vec{a} = (1, 0)$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $A D$ 中点，则 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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6、在复平面内，复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点 $Z$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ，且 $A D = 2 B C = 2$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点．

(1)、证明： $D A ⊥ C F$ ；

(2)、若 $B A = B E = 2$ ，直线 $C F$ 与直线 $D B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
（ⅰ）求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角；
（ⅱ）求二面角 $E - D C - B$ 的余弦值．

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8、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3}) + cos (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sin x \cos x .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在[0，2π]上的单调递减区间.

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9、已知 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ .

(1)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值.

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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10、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $5 sin 2 α - {sin}^{2} α =$ .

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11、如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为.

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12、在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = \sqrt{2} ， P A = A C = 2$ ，点 $M \in P B ， N \in P C$ ， Q为AC的中点， $Q H ⊥ P C$ ，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（）

A、平面 $B Q H ⊥$ 平面PBC B、若平面 $A M N ⊥$ 平面PBC，则一定有 $A M ⊥ P B$ C、若平面 $A M N ⊥$ 平面PBC，则一定有 $A N ⊥ P C$ D、点R是平面PBC上的动点， $A R = \sqrt{2}$ ，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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13、将函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到如图所示的奇函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称，则下列选项不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2π}{3}, π]$ 上为增函数 B、 $f (\frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > f (0)$ D、 $f (- 1) + f (0) < 0$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，M为线段 $B C$ 的中点，G为线段 $A M$ 上一点， $\vec{A G} = 2 \vec{G M}$ ，过点G的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于P，Q两点， $\vec{A B} = x \vec{A P} (x > 0)$ ， $\vec{A C} = y \vec{A Q} (y > 0)$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、9

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15、函数 $f (x)$ = $\cos (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的单调递减区间为

A、 $(k π - \frac{1}{4}, k π + \frac{3}{4}), k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{1}{4}, 2 k π + \frac{3}{4}), k \in Z$ C、 $(k - \frac{1}{4}, k + \frac{3}{4}), k \in Z$ D、 $(2 k - \frac{1}{4}, 2 k + \frac{3}{4}), k \in Z$

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16、设非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ ， $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $150 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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17、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 为矩形， $∠ B A D = ∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{17}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E A_{1}}$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ .

(1)、求证：平面 $D E F$ $∥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求证：平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、若三棱锥 $E - A_{1} B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为线段 $A B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点（不含端点）.记 $\vec{B F} = m \vec{B C}$ .

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求线段EF的长；

(2)、若 $m = \frac{1}{4}$ ，设 $\vec{A B} = x \vec{C E} + y \vec{D F}$ ，求实数 $x$ 和 $y$ 的值；

(3)、若 $C E$ 与 $D F$ 交于点 $G$ ， $\vec{A G} ∥ \vec{E F}$ ，求向量 $\vec{G E}$ 与 $\vec{G F}$ 的夹角的余弦值.

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19、如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点， $△ B C E$ 是边长为1的等边三角形.

(1)、若 $\sin ∠ A B D = \frac{\sqrt{21}}{14}$ ，求线段AE的长；

(2)、若 $A B : A D = \sqrt{13} : \sqrt{7}$ 且 $A E < B D$ ，求 $\sin ∠ A D C$ .

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20、一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件 $A =$ “第一次摸到红球”， $B =$ “第二次摸到黑球”， $C =$ “摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.

(1)、用数组 $(x_{1}, x_{2})$ 表示可能的结果， $x_{1}$ 是第一次摸到的球的标号， $x_{2}$ 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间 $Ω$ ；

(2)、分别求事件A，B，C发生的概率；

(3)、求事件A，B，C中至少有一个发生的概率.

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