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相关试卷

1、一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．

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2、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为.

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3、已知 $i$ 是虚数单位，复数z满足 $\frac{z}{z + i} = 2 - i$ ，则复数z的模为.

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4、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A A_{1}$ ， AB上的中点，且 $E F = \sqrt{3}$ ， P点是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内的动点，若 $C_{1} P ∥$ 平面 $C D_{1} E F$ ，则P点的轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 π$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $π$

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5、如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高 $A B$ ，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为 $45^{\circ}$ ，然后从点C处沿南偏东 $30^{\circ}$ 方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，则铁塔 $A B$ 的高度是（）

A、70米 B、80米 C、90米 D、100米

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 4, A = \frac{π}{6}$ ，则此三角形（）

A、无解 B、有一解 C、有两解 D、解的个数不确定

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7、若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、l仅垂直平面 $α$ 内的一条直线 B、l仅垂直平面 $α$ 内与l相交的直线 C、l仅垂直平面 $α$ 内的两条直线 D、l与平面 $α$ 内的任意一条直线垂直

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8、设点O是正三角形ABC的中心，则向量 $\vec{A O}$ ， $\vec{B O}$ ， $\vec{C O}$ 是（）

A、相同的向量 B、模相等的向量 C、共线向量 D、共起点的向量

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9、已知在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} / / A B$ ， $B_{1} C_{1} / / B C$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ .

(1)、若 $A_{1}$ ， $A$ ， $C$ ， $C_{1}$ 四点共面，求证：多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为棱台；

(2)、在（1）的条件下，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $A A_{1} ⊥ A B$ ， $B_{1} C_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ，且 $∠ B_{1} B C = \frac{3 π}{4}$ .
①求多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；
②求二面角 $A - C C_{1} - B$ 正切值.

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10、在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
① $2 a - b = 2 c cos B$ ；② $2 c sin A = a tan C$ ；③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} c (a sin A + b sin B - c sin C)$ （如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、在（2）的条件下，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $2 a - b$ 的取值范围.

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11、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $c o s β = - \frac{4}{5}$ ，且 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < π$ .

(1)、求 $sin (2 α - β)$ 的值；

(2)、求 $α + \frac{β}{2}$ 的大小.

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12、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{O A} = (1, - 1)$ ， $\vec{O B} = (3, 1)$ ， $\vec{O C} = (m, 3)$ （其中 $m \in R$ ）， $D$ 为坐标平面内一点.

(1)、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $m$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若四边形 $A B C D$ 为矩形，求 $D$ 点坐标.

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13、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中.

(1)、求证： $A B //$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ ；

(2)、求证： $A C_{1} ⊥ B_{1} C$ .

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14、某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了 $C$ ， $D$ 两地作为测量点.通过测量得知： $C$ ， $D$ 两地相距300米， $A$ ， $B$ 分别位于 $C$ 地正东和东偏南 $37 ^{\circ}$ 方向上； $C$ ， $A$ 和 $B$ 分别位于 $D$ 地的北偏东 $51 ^{\circ}$ ， $81 ^{\circ}$ 和南偏东 $63 ^{\circ}$ 方向上.则 $A$ ， $C$ 两地之间的距离为米；若一辆汽车通过高速公路 $A B$ 段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为千米/小时.
（参考数据： $sin 9^{\circ} \approx \frac{3}{20}$ ， $sin 10^{\circ} \approx \frac{17}{100}$ ， $sin 66^{\circ} \approx \frac{68}{75}$ ， $cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}$ ）

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15、将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠成直二面角 $B - A C - D$ ，则此时 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小是.

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16、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 ^{\circ}$ 的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量 $p$ ，存在唯一有序实数对 $(λ, μ)$ ，使得 $\vec{p} = λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}}$ ，我们称有序数对 $(λ, μ)$ 为向量 $\vec{p}$ 的“仿射坐标”.若向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的“仿射坐标”分别为 $(1, 2)$ ， $(m, - 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ B、若 $m = 3$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 的“仿射坐标”为 $(4 ， 1)$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ D、若 $a / / b$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$

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17、已知复数 $z = 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，下列说法中正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为4； B、 $\bar{z} = 3 - 4 i$ ； C、 $z^{2} = {|z|}^{2}$ ； D、 $2 + i$ 是 $z$ 的一个平方根

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18、已知 $α$ ， $β$ 是不同平面， $m$ ， $n$ ， $l$ 是不同直线，则“ $m / / n$ ”的充分条件是（）

A、 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ； B、 $m / / α$ ， $m \subset β$ ， $α \cap β = n$ ； C、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α / / β$ ； D、 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$

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19、在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 在边 $B C$ 上，且满足： $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $\frac{A B}{A C} = \frac{B N}{N C}$ ，若 $A = \frac{2 π}{3}$ ， $A M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A N = \frac{2}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、设 $α$ 为锐角，若 $cos (α + \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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