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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{m} + \vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，若 $|\vec{m}| - λ |\vec{n}| \leq 0$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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2、已知三个复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $|z_{3}| = \sqrt{2}$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 所对应的向量 $\vec{O Z_{1}}$ ， $\vec{O Z_{2}}$ 满足 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ ；则 $|z_{3} - z_{1} - z_{2}|$ 的最大值为.

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A E = m A B$ ， $A F = n A C$ ， $A D$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ， $A G = λ G D$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 2$ 时， $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、当 $λ = 2$ 时， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 3$ C、当 $λ = 3$ 时， $3 \vec{A B} \cdot \vec{A G} = 28$ D、若 $\vec{B G} \cdot \vec{A C} = - 6$ ，则 $λ = \frac{1}{3}$

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4、下列说法正确的是（　　）

A、 $(\vec{A C} + \vec{B O} + \vec{O A}) - (\vec{D C} - \vec{D O} - \vec{O B}) = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角 C、向量 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一个基底 D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{0}$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $G$ 是 $A D$ 的中点，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A B} = x \vec{A M}, \vec{A C} = y \vec{A N}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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6、在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{- 1 + 2 i}$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} i$

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7、设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 $x \in A$ ，都有 $x - 1 \in A$ 或 $x + 1 \in A$ ，则称A为自邻集.记集合 $A_{n} = {1, 2 \dots, n} (n > 2, n \in N)$ 的所有子集中的自邻集的个数为 $a_{n}$ .

(1)、直接写出 $A_{4}$ 的所有自邻集；

(2)、若 $n$ 为偶数且 $n > 6$ ，求证： $A_{n}$ 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

(3)、若 $n \geq 4$ ，求证： $a_{n} \leq 2 a_{n - 1}$ .

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8、已知函数 $f (x) = \ln (a x + b) - x^{2}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值：

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、令 $g (x) = f (x) + \frac{3}{2} x^{2} - m x$ ，若函数 $g (x)$ 的极小值小于 $0$ ，求 $m$ 的取值范围．

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9、某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
$[0, 2)$
$[2, 2.5)$
$[2.5, 3)$
$[3, 3.5)$
$[3.5, 4]$
人数
3
4
33
42
18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，

(1)、从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

(2)、从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；

(3)、从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 $ξ$ 人可以在3小时内完成各科作业， $η$ 人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望 $E (ξ)$ ， $E (η)$ 并比较其大小关系.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} a_{n}^{2}$ ．给出下列四个结论：
①数列 $\{a_{n}\}$ 每一项 $a_{n}$ 都满足 $0 < a_{n} \leq 1 (n \in N^{*})$ ；
②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列；
③数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} < 2$ ；
④数列 $\{a_{n}\}$ 每一项都满足 $a_{n} \leq \frac{2}{n + 1}$ 成立．
其中，所有正确结论的序号是．

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11、从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有种不同的取法．

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12、若随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 4) =$ ．

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13、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是 $0.8 π r^{2}$ 分，其中 $r$ （单位： $cm$ ）是瓶子的半径．已知每出售 $1 mL$ 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 $6 cm$ ，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（）

A、 $2 cm$ B、 $\frac{9}{2} cm$ C、 $5 cm$ D、 $6 cm$

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14、有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（）种．

A、36 B、72 C、108 D、144

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15、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则（）

A、两人都成功破译的概率为 $\frac{7}{12}$ B、两人都成功破译的概率为 $\frac{5}{12}$ C、密码被成功破译的概率为 $\frac{7}{12}$ D、密码被成功破译的概率为 $\frac{1}{2}$

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16、若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $x = - 2$ 的距离为4，则 $p$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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17、假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（）

A、84% B、85% C、86% D、87%

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18、已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于（）

A、1 B、0.6 C、2＋3m D、2.4

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19、已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $a_{7}$ 等于（）

A、 $32$ B、 $- 32$ C、 $64$ D、 $- 64$

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} + \ln (x + 1) - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 3$ 时，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 实数根的个数，并证明.

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时长t（小时）	$[0, 2)$	$[2, 2.5)$	$[2.5, 3)$	$[3, 3.5)$	$[3.5, 4]$
人数	3	4	33	42	18

X	1	3	5
P	0.5	m	0.2