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相关试卷

1、若 $t a n α = 3$ ，则 $t a n (2 α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2、函数 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ 在区间 $[- π, π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3、在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为 $170 c m, 173 c m, 173 c m, 175 c m, 177 c m$ ， $178 c m, 182 c m, 184 c m, 186 c m, 190 c m$ ，则这组数据的第80百分位数是（）

A、 $183 c m$ B、 $184 c m$ C、 $185 c m$ D、 $186 c m$

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4、已知数列 ${a_{n}}$ ，则“ $a_{n}^{2} = a_{n - 1} a_{n + 1} (n ⩾ 2)$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知复数 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、25 C、4 D、3

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6、已知集合 $A = {x ∣ - 2 ⩽ x < 2}, B = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 2}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1}$

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7、已知 $θ \in [0, π)$ ，向量 $\vec{a} = (c o s θ, s i n θ), \vec{b} = (1, 0), P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 是坐标平面上的三点，使得 $\vec{O P_{2}} = 2 [\vec{O P_{1}} - (\vec{a} \cdot \vec{O P_{1}}) \vec{a}], \vec{O P_{3}} = 2 [\vec{O P_{2}} - (\vec{b} \cdot \vec{O P_{2}}) \vec{b}]$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}, P_{1}$ 的坐标为 $(20, 21)$ ，求 $\vec{O P_{3}}$ ；

(2)、若 $θ = \frac{2 π}{3}, | {\vec{O P}}_{1} | = 6$ ，求 $| {\vec{O P}}_{3} |$ 的最大值；

(3)、若存在 $α \in [0, π)$ ，使得当 $\vec{O P_{1}} = (c o s α, s i n α)$ 时， $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 为等边三角形，求 $θ$ 的所有可能值.

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8、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}, s i n B = c o s A s i n C, P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{\sqrt{3}}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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9、已知 $i$ 是虚数单位， $z$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、 $i^{2024} = - 1$ B、 $z = \frac{3 - 2 i}{1 + i}$ 的虚部是 $- \frac{5}{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2}$ D、 $z = 3 + 2 i$ 对应的点在第一象限

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10、已知 $z$ 满足 $2 \bar{z} + \frac{4}{1 + i} = z + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 + i$

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11、复数 $\frac{1 - 2 i}{i^{3}} (i$ 为虚数单位 $)$ 的虚部是( )

A、 $i$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 1) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 6$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ ， $g (x) = - x^{2} - a (a \in R)$ .

(1)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的最小值；

(2)、若函数 $G (x) = f (x) + g (x)$ 的图象与 $y = a x$ 有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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14、为迎接 $2023$ 年美国数学竞赛 $(A M C)$ ，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级 $X$ 的分布列如下：
$X$
$1$
$2$
$3$
$P$
$0.3$
$0.5$
$0.2$
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为 $ξ$ ．

(1)、求此选手两次成绩的等级不相同的概率；

(2)、求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $2 S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{2}$ 成等差数列， $a_{4} + a_{5} = \frac{3}{32}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 n - 1) (1 - 2 \log_{2} a_{n})}$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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16、某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是 $0.8, 0.7, 0.5$ ，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为．

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17、已知复数 $z$ 满足 $(3 - 2 i) z = 4 - 7 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ .

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18、设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 12$ ， $S_{1}_{2} > 0$ ， $S_{1}_{3} < 0$ ，则下列结论正确的是（）．

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $S_{5} = 60$ C、 $- \frac{24}{7} < d < - 3$ D、 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{1}_{2}$ 中最大的是 $S_{6}$

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19、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）

A、某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B、课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C、课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D、课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法

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20、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{4} f (3 x - 4) > e^{2 x} f (x)$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(- \infty, e)$ D、 $(- \infty, 2)$

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$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0.3$	$0.5$	$0.2$